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Fiche méthode · Seconde

Methode : calculer avec des vecteurs

Fiche methode de Seconde sur les vecteurs : coordonnees, relation de Chasles, colinearite par le determinant et milieu d'un segment, avec exemples corriges.

Mis à jour en juin 2026

Les vecteurs transforment la geometrie en calcul : une fois les coordonnees connues, montrer que des points sont alignes, trouver un milieu ou simplifier un trajet devient une simple suite d’operations. Cette fiche rassemble les quatre gestes a maitriser en Seconde : coordonnees, relation de Chasles, colinearite par le determinant et milieu.

Objectifs

A la fin de cette fiche, tu sais :

calculer les coordonnees d’un vecteur $\vec{AB}$ avec la regle arrivee - depart ;
simplifier une somme de vecteurs grace a la relation de Chasles ;
tester la colinearite de deux vecteurs avec le determinant $x\,y' - y\,x'$ ;
prouver que trois points sont alignes et calculer le milieu d’un segment.

Methode

On travaille dans un repere, avec $A(x_A\,;\,y_A)$ , $B(x_B\,;\,y_B)$ , etc.

1. Coordonnees d’un vecteur. On calcule arrivee - depart : $\vec{AB}\,\bigl(x_B - x_A\ ;\ y_B - y_A\bigr).$

2. Relation de Chasles. Pour enchainer deux deplacements, on fait coincider l’arrivee d’un vecteur avec le depart du suivant : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.$ Le point intermediaire se simplifie.

3. Colinearite (determinant). Pour deux vecteurs $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ , on calcule le determinant $x\,y' - y\,x'$ :

s’il vaut $0$ , les vecteurs sont colineaires (meme direction) ;
sinon, ils ne le sont pas.

4. Points alignes. Pour montrer que $A$ , $B$ , $C$ sont alignes, on calcule $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis leur determinant : s’il est nul, les points sont alignes.

5. Milieu d’un segment. Le milieu $I$ de $[AB]$ est la moyenne des coordonnees : $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\ ;\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right).$

Exemple resolu

On se place dans un repere avec $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(7\,;\,4)$ .

Etape 1 - coordonnees des vecteurs (arrivee - depart). $\vec{AB}\,(4 - 1\ ;\ 3 - 2) = (3\,;\,1), \qquad \vec{AC}\,(7 - 1\ ;\ 4 - 2) = (6\,;\,2).$

Etape 2 - colinearite par le determinant. On calcule le determinant de $\vec{AB}\,(3\,;\,1)$ et $\vec{AC}\,(6\,;\,2)$ : $x\,y' - y\,x' = 3 \times 2 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0.$ Le determinant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colineaires.

Etape 3 - conclusion sur l’alignement. Comme $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colineaires et partent du meme point $A$ , les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignes.

Etape 4 - milieu de $[AC]$ . On prend la moyenne des coordonnees de $A(1\,;\,2)$ et $C(7\,;\,4)$ : $I\left(\dfrac{1 + 7}{2}\ ;\ \dfrac{2 + 4}{2}\right) = \left(\dfrac{8}{2}\ ;\ \dfrac{6}{2}\right) = (4\,;\,3).$

Conclusion : $A$ , $B$ , $C$ sont alignes, et le milieu de $[AC]$ est le point de coordonnees $(4\,;\,3)$ , c’est-a-dire $B$ lui-meme.

Exemple : deux vecteurs non colineaires

Soit $\vec{u}\,(3\,;\,1)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,5)$ . On teste la colinearite : $x\,y' - y\,x' = 3 \times 5 - 1 \times 2 = 15 - 2 = 13.$

Le determinant vaut $13$ , different de $0$ .

Conclusion : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colineaires ; ils n’ont pas la meme direction.

Erreur classique

Faux : calculer les coordonnees de $\vec{AB}$ en faisant depart - arrivee, par exemple $\vec{AB}\,(x_A - x_B\,;\,y_A - y_B)$ . Avec $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,3)$ , cela donne $(1 - 4\,;\,2 - 3) = (-3\,;\,-1)$ : on obtient en realite le vecteur oppose $\vec{BA}$ .

Vrai : on calcule toujours arrivee - depart : $\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A) = (4 - 1\,;\,3 - 2) = (3\,;\,1).$ De meme, pour un milieu on additionne avant de diviser par $2$ (ce n’est pas une soustraction comme pour un vecteur).

A retenir

Vecteur : arrivee - depart. Chasles : la lettre du milieu disparait ( $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ ). Colineaire : determinant $x\,y' - y\,x' = 0$ . Milieu : moyenne des coordonnees. Pour prouver un alignement, calcule deux vecteurs partant du meme point et verifie que leur determinant est nul.

S'entraîner sur ces chapitres

Seconde

Les vecteurs : coordonnées, relation de Chasles et colinéarité

Cours et exercices →

Questions fréquentes

Comment calculer les coordonnees d'un vecteur AB ?

On fait toujours arrivee moins depart. Si A a pour coordonnees (xA ; yA) et B (xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnees (xB moins xA ; yB moins yA). Par exemple, pour A(1 ; 2) et B(4 ; 3), le vecteur AB a pour coordonnees (3 ; 1). Attention, les vecteurs AB et BA sont opposes.

Comment montrer que deux vecteurs sont colineaires avec le determinant ?

On note les coordonnees des deux vecteurs, u(x ; y) et v(x prime ; y prime), puis on calcule le determinant x fois y prime moins y fois x prime. S'il est egal a zero, les vecteurs sont colineaires (meme direction) ; sinon, ils ne le sont pas. Ce critere sert a prouver que trois points sont alignes ou que deux droites sont paralleles.

Comment calculer les coordonnees du milieu d'un segment ?

Le milieu d'un segment a pour coordonnees la moyenne des coordonnees de ses deux extremites. Pour le milieu de [AB], on additionne les abscisses de A et B et on divise par 2, puis on fait pareil avec les ordonnees. Pour A(1 ; 2) et B(4 ; 3), le milieu est (2,5 ; 2,5). On additionne avant de diviser, ce n'est pas une soustraction comme pour un vecteur.