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L'épargne pour ouvrir un food-truck

Énoncé

Yasmine veut ouvrir un food-truck. Pour réunir son apport, elle épargne chaque mois : 5050 € le premier mois, puis 1010 € de plus que le mois précédent à chaque nouveau mois. Elle tient ce rythme pendant 1212 mois. On note u1=50u_1 = 50 la somme épargnée le 1er mois (en euros) et unu_n celle du mois nn. 1) Calculer u12u_{12}, la somme mise de côté le 12e mois. 2) Calculer la somme totale épargnée au bout des 1212 mois.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Attention : ici le premier versement est au mois 1, donc le premier terme est u1u_1 (et non u0u_0). Repère bien la raison.
  2. Pour le 12e mois, utilise un=u1+(n−1)×ru_n = u_1 + (n - 1) \times r : du mois 1 au mois 12, il y a 1111 pas, pas 1212.
  3. Pour la somme, applique S=nombre de termes×(premier+dernier)2S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2} avec 1212 termes, le premier u1=50u_1 = 50 et le dernier u12=160u_{12} = 160.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la suite

    Chaque mois, Yasmine met 1010 € de plus que le mois d'avant : on ajoute toujours la même quantité, donc la suite (un)(u_n) des versements mensuels est arithmétique. Ici le premier terme est donné au rang 11 : u1=50u_1 = 50 €, et la raison est r=10r = 10 €.

  2. 2. Calculer le versement du 12e mois

    Comme le premier terme est u1u_1, on utilise la formule un=u1+(n−1)×ru_n = u_1 + (n - 1) \times r (il faut n−1n - 1 pas pour aller du mois 11 au mois nn). Pour le 12e mois, n=12n = 12 : u12=u1+(12−1)×r=50+11×10=50+110=160u_{12} = u_1 + (12 - 1) \times r = 50 + 11 \times 10 = 50 + 110 = 160 €. Le dernier mois, elle met donc 160160 € de côté.

  3. 3. Choisir la formule de la somme

    La somme totale épargnée est la somme des versements de u1u_1 à u12u_{12}, soit l'addition de termes consécutifs d'une suite arithmétique. On utilise : S=nombre de termes×(premier+dernier)2.S = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}. De u1u_1 à u12u_{12}, il y a 12−1+1=1212 - 1 + 1 = 12 termes.

  4. 4. Calculer la somme totale

    On remplace : nombre de termes =12= 12, premier terme =50= 50, dernier terme =160= 160 : S=12×(50+160)2=12×2102=2 5202=1 260S = \dfrac{12 \times (50 + 160)}{2} = \dfrac{12 \times 210}{2} = \dfrac{2\,520}{2} = 1\,260 €.

  5. 5. Conclure

    Le versement du 12e mois est de 160160 € et, au total, Yasmine aura épargné 1 2601\,260 € en un an. Vérification d'ordre de grandeur : si elle avait versé le versement moyen 50+1602=105\dfrac{50 + 160}{2} = 105 € chaque mois pendant 1212 mois, elle aurait eu 105×12=1 260105 \times 12 = 1\,260 € : on retrouve bien le résultat. Au bout de 12 mois, Yasmine dispose de 1 2601\,260 € pour son apport.
Réponse finale
u12=50+11×10=160 euros;S=12×(50+160)2=1 260 eurosu_{12} = 50 + 11 \times 10 = 160 \ \text{euros} \quad ; \quad S = \dfrac{12 \times (50 + 160)}{2} = 1\,260 \ \text{euros}
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