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Durée d'efficacité d'un médicament (bonus)

Énoncé

La concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée pour 0≤t≤60 \le t \le 6 (en heures) par C(t)=−t2+6 t.C(t) = -t^2 + 6\,t. Le médicament n'est efficace que lorsque la concentration est supérieure ou égale à 55 mg/L. a) Déterminer les instants où C(t)=5.C(t) = 5. b) En déduire la durée pendant laquelle le médicament est efficace.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par résoudre l'équation C(t)=5C(t) = 5 : ce sont les abscisses des points où la parabole coupe la droite horizontale y=5.y = 5.
  2. Pour résoudre −t2+6 t=5-t^2 + 6\,t = 5, ramène tout d'un même côté : −t2+6 t−5=0-t^2 + 6\,t - 5 = 0, puis teste des valeurs entières simples entre 00 et 66 (comme t=1t = 1 et t=5t = 5).
  3. La parabole est tournée vers le bas : elle est au-dessus de la droite y=5y = 5 entre ses deux points d'intersection. La durée d'efficacité est la longueur de cet intervalle.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Résoudre l'équation C(t) = 5

    On cherche les instants où C(t)=5C(t) = 5, c'est-à-dire −t2+6 t=5.-t^2 + 6\,t = 5. On teste les valeurs simples de l'intervalle [0 ; 6][0\,;\,6] : pour t=1t = 1, C(1)=−12+6×1=−1+6=5C(1) = -1^2 + 6 \times 1 = -1 + 6 = 5 ; pour t=5t = 5, C(5)=−52+6×5=−25+30=5.C(5) = -5^2 + 6 \times 5 = -25 + 30 = 5. Les deux instants cherchés sont donc t=1t = 1 heure et t=5t = 5 heures.

  2. 2. Situer la courbe par rapport à y = 5

    La courbe de CC est une parabole tournée vers le bas, de sommet en t=3t = 3 (où C(3)=9C(3) = 9). Elle passe donc au-dessus de la droite horizontale y=5y = 5 exactement entre ses deux points d'intersection, c'est-à-dire pour tt compris entre 11 et 5.5.

  3. 3. b) Conclure sur la durée d'efficacité

    La concentration est supérieure ou égale à 55 mg/L pour t∈[1 ; 5]t \in [1\,;\,5], donc entre la 1re1^{re} et la 5e5^{e} heure après la prise. La durée d'efficacité est la longueur de cet intervalle : 5−1=45 - 1 = 4 heures. Le médicament est efficace pendant 44 heures.
Réponse finale
C(t)=5 pour t=1 et t=5;efficace sur [1 ; 5], soit 4 heuresC(t) = 5 \text{ pour } t = 1 \text{ et } t = 5 \quad ; \quad \text{efficace sur } [1\,;\,5]\text{, soit } 4 \text{ heures}
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