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Première ST2S Approfondissement gratuit

Évolutions successives d'une prévalence et retour à l'état initial

Énoncé

Le taux de prévalence d'une maladie chronique dans une région augmente de 20%20\% la première année, puis de 12,5%12{,}5\% la deuxième année. 1) Détermine le taux d'évolution global de la prévalence sur les deux ans. 2) Quel pourcentage de baisse, arrondi à 0,1%0{,}1\% près, faudrait-il obtenir la troisième année grâce à un plan de prévention pour ramener la prévalence à sa valeur initiale ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Une évolution de t%t\% se traduit par le coefficient multiplicateur 1+t1001 + \dfrac{t}{100} : commence par calculer les deux coefficients.
  2. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients ; on n'additionne jamais les pourcentages.
  3. Pour revenir à la valeur de départ, cherche le coefficient cc tel que CMglobal×c=1\text{CM}_{\text{global}} \times c = 1, puis convertis cc en taux avec t=(c−1)×100.t = (c - 1) \times 100.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Coefficient de chaque évolution

    La hausse de 20%20\% a pour coefficient 1+20100=1,201 + \dfrac{20}{100} = 1{,}20 ; la hausse de 12,5%12{,}5\% a pour coefficient 1+12,5100=1,125.1 + \dfrac{12{,}5}{100} = 1{,}125.

  2. 2. Coefficient global (on multiplie)

    Les évolutions successives se multiplient : CMglobal=1,20×1,125=1,35.\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}20 \times 1{,}125 = 1{,}35.

  3. 3. Taux d'évolution global

    t=(CMglobal−1)×100=(1,35−1)×100=35.t = (\text{CM}_{\text{global}} - 1) \times 100 = (1{,}35 - 1) \times 100 = 35. La prévalence a globalement augmenté de 35%35\% en deux ans (et non de 20%+12,5%=32,5%20\% + 12{,}5\% = 32{,}5\%).

  4. 4. Coefficient réciproque

    Pour annuler une hausse de coefficient 1,351{,}35, on cherche le coefficient cc tel que 1,35×c=11{,}35 \times c = 1, soit c=11,35≈0,7407.c = \dfrac{1}{1{,}35} \approx 0{,}7407.

  5. 5. Taux de baisse nécessaire et conclusion

    t=(c−1)×100≈(0,7407−1)×100≈−25,9.t = (c - 1) \times 100 \approx (0{,}7407 - 1) \times 100 \approx -25{,}9. Il faudrait une baisse d'environ 25,9%25{,}9\% la troisième année : on ne « rend » pas les 35%35\% gagnés, car la baisse s'applique à une prévalence devenue plus élevée.
Réponse finale
Hausse globale +35%;baisse reˊciproque≈25,9%\text{Hausse globale } +35\% \quad ; \quad \text{baisse réciproque} \approx 25{,}9\%
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