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Débit d'une appli de streaming et seuil de saturation

Énoncé

Un serveur de streaming dispose d'un débit total de 600600 Mb/s, partagé équitablement entre les nn spectateurs connectés simultanément. Le débit reçu par chaque spectateur est donc D(n)=600nD(n) = \frac{600}{n} (en Mb/s), avec nn entier strictement positif. 1) Calcule le débit par spectateur pour n=50n = 50, n=100n = 100, puis n=120n = 120. 2) Une lecture fluide en haute définition exige au moins 55 Mb/s par spectateur. Résous l'inéquation D(n)⩾5D(n) \geqslant 5 pour trouver le nombre maximal de spectateurs avant saturation. 3) Que se passe-t-il, qualitativement, quand nn devient très grand ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Calculer D(n)D(n) pour une valeur de nn, c'est diviser 600600 par ce nombre.
  2. La fluidité « au moins 55 Mb/s » se traduit par l'inéquation 600n⩾5\frac{600}{n} \geqslant 5.
  3. Comme n>0n > 0, tu peux multiplier les deux côtés par nn sans inverser l'inégalité, puis isoler nn.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. 1) Trois débits (trois images)

    Je calcule chaque image de la fonction inverse D(n)=600nD(n) = \frac{600}{n} : pour n=50n = 50, D(50)=60050=12D(50) = \frac{600}{50} = 12 Mb/s ; pour n=100n = 100, D(100)=600100=6D(100) = \frac{600}{100} = 6 Mb/s ; pour n=120n = 120, D(120)=600120=5D(120) = \frac{600}{120} = 5 Mb/s. Avec 5050 spectateurs chacun reçoit 1212 Mb/s, avec 100100 spectateurs 66 Mb/s, et avec 120120 spectateurs exactement 55 Mb/s.

  2. 2. 2) Poser l'inéquation

    La condition de fluidité s'écrit D(n)⩾5D(n) \geqslant 5, c'est-à-dire 600n⩾5\frac{600}{n} \geqslant 5. Comme le nombre de spectateurs nn est strictement positif, je peux multiplier les deux membres par nn sans changer le sens de l'inégalité : 600⩾5×n600 \geqslant 5 \times n, soit 600⩾5n600 \geqslant 5n.

  3. 3. 2) Résoudre et conclure le seuil

    Je divise les deux membres par 55 (un nombre positif) : 6005⩾n\frac{600}{5} \geqslant n, donc 120⩾n120 \geqslant n, c'est-à-dire n⩽120n \leqslant 120. Comme nn est un nombre entier de spectateurs, la condition est respectée tant que n⩽120n \leqslant 120. Le serveur peut accueillir au maximum 120120 spectateurs simultanés en haute définition : au-delà, le débit passe sous 55 Mb/s et la lecture sature.

  4. 4. 3) Comportement quand n devient très grand

    Plus nn augmente, plus 600n\frac{600}{n} diminue, car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : le débit total fixe se partage entre de plus en plus de monde. Quand nn devient très grand, D(n)D(n) devient très proche de 00 (la courbe se rapproche de l'axe horizontal sans jamais l'atteindre). Avec énormément de spectateurs, le débit par personne tend vers 00 : l'image se fige, c'est la saturation.
Réponse finale
D(50)=12, D(100)=6, D(120)=5 (Mb/s) ; 600n⩾5⇔n⩽120 ; saturation : au plus 120 spectateurs ; n→treˋs grand⇒D(n)→0D(50) = 12,\ D(100) = 6,\ D(120) = 5 \ (\text{Mb/s}) \ ; \ \frac{600}{n} \geqslant 5 \Leftrightarrow n \leqslant 120 \ ; \ \text{saturation : au plus } 120 \text{ spectateurs} \ ; \ n \to \text{très grand} \Rightarrow D(n) \to 0
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