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Volume d'eau cumule par une pompe

Énoncé

Une pompe transvase de l'eau d'une cuve vers une autre. Son debit, a l'instant tt (en secondes), est modelise par d(t)=0,9t2−6t+12d(t) = 0{,}9t^2 - 6t + 12 (en litres par seconde), pour 0⩽t⩽80 \leqslant t \leqslant 8. On note V(t)V(t) le volume d'eau (en litres) deja transvase a l'instant tt. Le debit est la vitesse a laquelle le volume augmente, donc V′(t)=d(t)V'(t) = d(t). Au demarrage, aucun volume n'a encore ete transvase : V(0)=0V(0) = 0. Determiner V(t)V(t), puis calculer le volume transvase au bout de 55 secondes.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le debit, c'est la vitesse a laquelle le volume grandit : c'est donc la derivee du volume. Pour retrouver VV, cherche une primitive de dd.
  2. Primitive terme par terme sans oublier les coefficients decimaux : une primitive de 0,9t20{,}9t^2 est 0,9×t33=0,3t30{,}9 \times \frac{t^3}{3} = 0{,}3t^3.
  3. Avec V(0)=0V(0) = 0, la constante vaut C=0C = 0. Il ne reste plus qu'a calculer V(5)V(5) en remplaçant tt par 55.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Relier le volume au debit

    Le debit d(t)d(t) est la vitesse de variation du volume, c'est-a-dire sa derivee : V′(t)=d(t)V'(t) = d(t). Le volume VV est donc une primitive du debit dd. On cherche d'abord la forme generale des primitives de d(t)=0,9t2−6t+12d(t) = 0{,}9t^2 - 6t + 12.

  2. 2. Primitiver le debit terme par terme

    On primitive chaque terme. Une primitive de 0,9t20{,}9t^2 est 0,9×t33=0,3t30{,}9 \times \frac{t^3}{3} = 0{,}3t^3. Une primitive de −6t-6t est −6×t22=−3t2-6 \times \frac{t^2}{2} = -3t^2. Une primitive de la constante 1212 est 12t12t. La forme generale est donc : V(t)=0,3t3−3t2+12t+C.V(t) = 0{,}3t^3 - 3t^2 + 12t + C.

  3. 3. Fixer la constante avec la condition initiale

    Au demarrage, V(0)=0V(0) = 0. On remplace tt par 00 : V(0)=0,3×03−3×02+12×0+C=C.V(0) = 0{,}3 \times 0^3 - 3 \times 0^2 + 12 \times 0 + C = C. Comme on veut V(0)=0V(0) = 0, on en deduit que C=0C = 0. Le volume transvase est donc V(t)=0,3t3−3t2+12t.V(t) = 0{,}3t^3 - 3t^2 + 12t.

  4. 4. Calculer le volume a t = 5 s

    On remplace tt par 55 : V(5)=0,3×53−3×52+12×5.V(5) = 0{,}3 \times 5^3 - 3 \times 5^2 + 12 \times 5. On calcule chaque terme : 0,3×125=37,50{,}3 \times 125 = 37{,}5 ; 3×25=753 \times 25 = 75 ; 12×5=6012 \times 5 = 60. Donc V(5)=37,5−75+60=22,5V(5) = 37{,}5 - 75 + 60 = 22{,}5 L.

  5. 5. Verifier la coherence

    On controle en derivant : V′(t)=0,3×3t2−3×2t+12=0,9t2−6t+12=d(t).V'(t) = 0{,}3 \times 3t^2 - 3 \times 2t + 12 = 0{,}9t^2 - 6t + 12 = d(t). On retrouve bien le debit, et le volume 22,522{,}5 L est positif et raisonnable pour ces 55 secondes. Le volume transvase est V(t)=0,3t3−3t2+12tV(t) = 0{,}3t^3 - 3t^2 + 12t, et au bout de 55 secondes il vaut 22,522{,}5 litres.
Réponse finale
V(t)=0,3t3−3t2+12tetV(5)=22,5 LV(t) = 0{,}3t^3 - 3t^2 + 12t \quad \text{et} \quad V(5) = 22{,}5 \ \text{L}
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