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Diagnostic : un composant signalé défectueux l'est-il vraiment ?

Énoncé

Une carte électronique embarque un test automatique de défaillance. Un composant est réellement défectueux (événement DD) avec une probabilité de 0,020{,}02. Le test signale un défaut (événement TT). Le test est bon mais pas parfait : si le composant est défectueux, il le signale avec une probabilité PD(T)=0,98P_D(T) = 0{,}98 ; s'il est sain, il le signale quand même par erreur avec une probabilité PD‾(T)=0,05P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05. Un composant vient d'être signalé défectueux par le test. Quelle est la probabilité qu'il le soit réellement, c'est-à-dire PT(D)P_T(D) ? Arrondir au millième.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dessine un arbre à deux niveaux : d'abord l'état réel (DD et D‾\overline{D}), puis le verdict du test (TT et T‾\overline{T}).
  2. La question demande PT(D)P_T(D), pas PD(T)P_D(T) : on conditionne par le verdict du test, donc on divisera par P(T)P(T).
  3. Calcule P(T)P(T) avec la formule des probabilités totales (les deux chemins qui mènent à TT), puis applique PT(D)=P(D∩T)P(T)P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Construire l'arbre et lire les données

    Premier niveau : l'état réel, avec P(D)=0,02P(D) = 0{,}02 et P(D‾)=1−0,02=0,98.P(\overline{D}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98. Second niveau : le verdict du test, avec PD(T)=0,98P_D(T) = 0{,}98 (vrai positif) et PD‾(T)=0,05P_{\overline{D}}(T) = 0{,}05 (faux positif).

  2. 2. Calculer la probabilité d'un vrai positif

    Le chemin « défectueux puis signalé » a pour probabilité, en multipliant le long de la branche : P(D∩T)=P(D)×PD(T)=0,02×0,98=0,0196.P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0{,}02 \times 0{,}98 = 0{,}0196.

  3. 3. Calculer la probabilité totale d'être signalé

    Le test peut signaler un défaut de deux façons : à juste titre (chemin D→TD \to T) ou par erreur (chemin D‾→T\overline{D} \to T). D'après la formule des probabilités totales : P(T)=P(D) PD(T)+P(D‾) PD‾(T)=0,0196+0,98×0,05.P(T) = P(D)\,P_D(T) + P(\overline{D})\,P_{\overline{D}}(T) = 0{,}0196 + 0{,}98 \times 0{,}05. Or 0,98×0,05=0,0490{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}049, donc P(T)=0,0196+0,049=0,0686.P(T) = 0{,}0196 + 0{,}049 = 0{,}0686.

  4. 4. Appliquer la formule de la probabilité conditionnelle

    On cherche PT(D)P_T(D), c'est-à-dire « réellement défectueux sachant que le test l'a signalé ». Attention à ne pas la confondre avec PD(T)P_D(T) : ici on divise par P(T)P(T). PT(D)=P(D∩T)P(T)=0,01960,0686.P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0196}{0{,}0686}.

  5. 5. Calculer et interpréter

    PT(D)=0,01960,0686=27≈0,286.P_T(D) = \dfrac{0{,}0196}{0{,}0686} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}286. Résultat surprenant : alors que le test paraît très fiable, un composant signalé défectueux ne l'est réellement que dans environ 28,6 %28{,}6\,\% des cas. La raison : les composants défectueux sont rares (2 %2\,\%), donc les fausses alertes (sur les 98 %98\,\% de composants sains) finissent par dominer.
Réponse finale
PT(D)=P(D∩T)P(T)=0,02×0,980,02×0,98+0,98×0,05=0,01960,0686=27≈0,286P_T(D) = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}02 \times 0{,}98}{0{,}02 \times 0{,}98 + 0{,}98 \times 0{,}05} = \dfrac{0{,}0196}{0{,}0686} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}286
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