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Position angulaire d'une éolienne au cours du temps

Énoncé

Une pale d'éolienne tourne à vitesse constante. On repère sa position par l'angle θ(t)=π15 t\theta(t) = \dfrac{\pi}{15}\,t (en radians), où tt est le temps en secondes, θ(0)=0\theta(0) = 0 correspondant à la pale horizontale vers la droite. Un capteur déclenche une mesure chaque fois que cos⁡(θ(t))=12\cos\big(\theta(t)\big) = \dfrac{1}{2}. Déterminer la durée d'un tour complet, puis tous les instants tt de l'intervalle [0 ;60][0\,;60] secondes où le capteur se déclenche.
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  1. Un tour complet correspond à un angle θ=2π\theta = 2\pi. Résous π15 t=2π\dfrac{\pi}{15}\,t = 2\pi pour la période.
  2. Pose un changement de variable : appelle x=θ(t)x = \theta(t) et résous d'abord cos⁡(x)=12\cos(x) = \dfrac{1}{2} comme une équation classique sur un tour.
  3. Les angles solutions sont x=π3+2kπx = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi et x=−π3+2kπx = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi. Remplace xx par π15 t\dfrac{\pi}{15}\,t, puis garde seulement les tt entre 00 et 6060.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la durée d'un tour

    Un tour complet correspond à une variation d'angle de 2π2\pi. On cherche tt tel que θ(t)=2π\theta(t) = 2\pi, c'est-à-dire π15 t=2π\dfrac{\pi}{15}\,t = 2\pi. On isole tt : t=2π×15π=2×15×ππ=30t = 2\pi \times \dfrac{15}{\pi} = \dfrac{2 \times 15 \times \pi}{\pi} = 30. La pale effectue donc un tour en 3030 secondes.

  2. 2. Poser l'équation à résoudre

    Le capteur se déclenche quand cos⁡(θ(t))=12\cos\big(\theta(t)\big) = \dfrac{1}{2}. On pose x=θ(t)=π15 tx = \theta(t) = \dfrac{\pi}{15}\,t et on résout d'abord cos⁡(x)=12\cos(x) = \dfrac{1}{2}. Sur un tour, on sait que cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} et, par symétrie par rapport à l'axe horizontal, cos⁡(−π3)=12\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}.

  3. 3. Écrire toutes les solutions en angle

    Comme la pale tourne en continu, l'angle peut faire plusieurs tours : on ajoute donc tous les multiples de 2π2\pi. Les solutions en angle sont x=π3+2kπx = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi ou x=−π3+2kπx = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, où kk est un entier.

  4. 4. Revenir au temps avec la première famille

    On remplace xx par π15 t\dfrac{\pi}{15}\,t dans x=π3+2kπx = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi : π15 t=π3+2kπ\dfrac{\pi}{15}\,t = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi. On multiplie chaque membre par 15π\dfrac{15}{\pi} : t=15π×π3+15π×2kπ=5+30kt = \dfrac{15}{\pi} \times \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{15}{\pi} \times 2k\pi = 5 + 30k. Pour tt dans [0 ;60][0\,;60], on prend k=0k = 0 et k=1k = 1 : on obtient t=5t = 5 s et t=35t = 35 s.

  5. 5. Revenir au temps avec la seconde famille

    On remplace de même dans x=−π3+2kπx = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi : π15 t=−π3+2kπ\dfrac{\pi}{15}\,t = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, d'où t=−5+30kt = -5 + 30k. La valeur k=0k = 0 donne t=−5t = -5 s, hors de l'intervalle ; on garde k=1k = 1 et k=2k = 2 : t=25t = 25 s et t=55t = 55 s, toutes deux dans [0 ;60][0\,;60].

  6. 6. Conclure

    On rassemble et on ordonne les instants trouvés dans [0 ;60][0\,;60] : 55, 2525, 3535 et 5555 secondes. C'est cohérent : sur deux tours de 3030 s, le capteur se déclenche deux fois par tour, soit quatre fois. Le capteur se déclenche aux instants t=5t = 5 s, t=25t = 25 s, t=35t = 35 s et t=55t = 55 s.
Réponse finale
T=30 s;t∈{ 5 ; 25 ; 35 ; 55 } (en secondes)T = 30 \ \text{s} \quad ; \quad t \in \{\, 5 \ ; \ 25 \ ; \ 35 \ ; \ 55 \,\} \ \text{(en secondes)}
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