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Combien de tests pour détecter un défaut à plus de 99 pour cent

Énoncé

Un capteur produit en série a une probabilité p=0,03p = 0{,}03 d'être défectueux, indépendamment des autres. Pour valider un lot, le service qualité prélève nn capteurs et les teste : le lot est rejeté dès qu'au moins un capteur défectueux est trouvé. On note XX le nombre de capteurs défectueux parmi les nn testés ; XX suit la loi binomiale B(n ; 0,03)\mathcal{B}(n\,;\,0{,}03).

Déterminer le nombre minimal de capteurs à tester pour que la probabilité de détecter au moins un défaut dépasse 99 %99\,\%.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Au moins un défaut » se gère par l'événement contraire « aucun défaut » : commence par écrire P(X⩾1)=1−0,97 nP(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}97^{\,n}.
  2. Ramène-toi à une inéquation de la forme 0,97 n<0,010{,}97^{\,n} < 0{,}01, puis applique le logarithme népérien aux deux membres.
  3. Attention au sens de l'inégalité : diviser par ln⁡(0,97)\ln(0{,}97), qui est négatif, inverse l'inégalité. N'oublie pas d'arrondir nn à l'entier supérieur.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire l'objectif en inéquation

    « Détecter au moins un défaut » correspond à l'événement X⩾1X \geqslant 1. On veut que sa probabilité dépasse 0,990{,}99 :
    P(X⩾1)>0,99.P(X \geqslant 1) > 0{,}99.
    C'est l'inéquation à résoudre, d'inconnue le nombre entier nn.

  2. 2. Utiliser l'événement contraire

    On exprime P(X⩾1)P(X \geqslant 1) avec l'événement contraire « aucun défaut » (X=0X = 0) :
    P(X⩾1)=1−P(X=0)=1−0,97 n.P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}97^{\,n}.
    L'inéquation devient :
    1−0,97 n>0,99.1 - 0{,}97^{\,n} > 0{,}99.

  3. 3. Isoler la puissance

    On isole 0,97 n0{,}97^{\,n} :
    1−0,97 n>0,99  ⟺  − 0,97 n>0,99−1  ⟺  − 0,97 n>− 0,01.1 - 0{,}97^{\,n} > 0{,}99 \iff -\,0{,}97^{\,n} > 0{,}99 - 1 \iff -\,0{,}97^{\,n} > -\,0{,}01.
    On multiplie les deux membres par −1-1, ce qui inverse le sens de l'inégalité :
    0,97 n<0,01.0{,}97^{\,n} < 0{,}01.

  4. 4. Résoudre avec le logarithme

    On applique la fonction logarithme népérien (croissante) aux deux membres, qui sont strictement positifs :
    ln⁡ ⁣(0,97 n)<ln⁡(0,01)  ⟺  n×ln⁡(0,97)<ln⁡(0,01).\ln\!\left(0{,}97^{\,n}\right) < \ln(0{,}01) \iff n \times \ln(0{,}97) < \ln(0{,}01).
    Comme ln⁡(0,97)<0\ln(0{,}97) < 0, diviser par ln⁡(0,97)\ln(0{,}97) inverse de nouveau le sens de l'inégalité :
    n>ln⁡(0,01)ln⁡(0,97).n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}97)}.

  5. 5. Calculer et conclure avec un entier

    On calcule : ln⁡(0,01)≈−4,6052\ln(0{,}01) \approx -4{,}6052 et ln⁡(0,97)≈−0,0305\ln(0{,}97) \approx -0{,}0305, donc :
    n>−4,6052−0,0305≈151,2.n > \frac{-4{,}6052}{-0{,}0305} \approx 151{,}2.
    Comme nn est un nombre entier de capteurs, il faut n⩾152n \geqslant 152. Vérification : pour n=151n = 151, 1−0,97151≈0,9899<0,991 - 0{,}97^{151} \approx 0{,}9899 < 0{,}99 (insuffisant) ; pour n=152n = 152, 1−0,97152≈0,9902>0,991 - 0{,}97^{152} \approx 0{,}9902 > 0{,}99.
    Il faut tester au minimum 152152 capteurs pour que la probabilité de détecter au moins un défaut dépasse 99 %99\,\%.
Réponse finale
n>ln⁡(0,01)ln⁡(0,97)≈151,2⟹nmin⁡=152 capteursn > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}97)} \approx 151{,}2 \quad \Longrightarrow \quad n_{\min} = 152 \ \text{capteurs}
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