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Première STMG Approfondissement gratuit

Recherche d'un seuil : abonnés d'une page

Énoncé

Une page professionnelle compte 4 0004\,000 abonnés au lancement de sa campagne. Grâce à ses publications, ce nombre augmente de 15 %15\,\% chaque mois. On note unu_n le nombre d'abonnés au bout de nn mois, donc u0=4 000u_0 = 4\,000.

1. Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. À partir de combien de mois le nombre d'abonnés dépassera-t-il 8 0008\,000 ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 15 %15\,\%, c'est multiplier par un coefficient multiplicateur : lequel ?
  2. Écris le terme général un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, puis teste des valeurs entières de nn avec la calculatrice.
  3. Calcule u4u_4 puis u5u_5 : repère entre quelles deux valeurs de nn la suite franchit 8 0008\,000.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature de la suite

    Augmenter de 15 %15\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1+15100=1,151 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15. On a donc un+1=1,15×unu_{n+1} = 1{,}15 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,15q = 1{,}15 et de premier terme u0=4 000u_0 = 4\,000.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=4 000×1,15 n.u_n = 4\,000 \times 1{,}15^{\,n}.

  3. 3. Encadrer le seuil

    On cherche le plus petit entier nn tel que un>8 000u_n > 8\,000. À la calculatrice, on calcule les termes successifs : u4=4 000×1,154≈6 996u_4 = 4\,000 \times 1{,}15^{4} \approx 6\,996 et u5=4 000×1,155≈8 045.u_5 = 4\,000 \times 1{,}15^{5} \approx 8\,045.

  4. 4. Conclure

    On a u4≈6 996<8 000u_4 \approx 6\,996 < 8\,000 alors que u5≈8 045>8 000u_5 \approx 8\,045 > 8\,000. La suite franchit donc le seuil entre le 4e4^{\text{e}} et le 5e5^{\text{e}} mois.

    C’est aˋ partir de la 5e mois que le nombre d’abonneˊs deˊpasse 8 000.\textbf{C'est à partir de la 5}^{\textbf{e}} \textbf{ mois que le nombre d'abonnés dépasse 8 000.}
Réponse finale
un=4 000×1,15 n ;le seuil de 8 000 est deˊpasseˊ aˋ partir de n=5u_n = 4\,000 \times 1{,}15^{\,n}\ ;\quad \text{le seuil de } 8\,000 \text{ est dépassé à partir de } n = 5
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