Première · Chapitre 10

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Cours de Première sur le schéma de Bernoulli et la loi binomiale : épreuve de Bernoulli, coefficient binomial, formule P(X=k), espérance E(X)=np et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première générale - spécialité mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Variables aléatoires : loi de probabilité, espérance, variance et écart-type

Lancer 10 fois une pièce et compter les piles, tester 20 composants et compter les défectueux, interroger 100 personnes et compter les réponses « oui » : dans tous ces cas, on répète une même expérience à deux issues et on compte les succès. La loi binomiale modélise exactement ce type de situation.

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues :

le succès $S$ , de probabilité $p$ ;
l’échec $\bar{S}$ , de probabilité $1 - p$ .

Exemple. Lancer un dé et regarder si l’on obtient un $6$ est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir $6$ », avec $p = \dfrac{1}{6}$ .

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli :

identiques : la probabilité de succès $p$ est la même à chaque épreuve ;
indépendantes : le résultat d’une épreuve n’influence pas les autres.

Coefficient binomial

Dans un schéma de $n$ épreuves, le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ ») est le nombre de chemins de l’arbre qui réalisent exactement $k$ succès parmi les $n$ épreuves.

Exemples.

$\binom{3}{2} = 3 \qquad \binom{4}{2} = 6$

Pour $\dbinom{3}{2}$ , les $3$ chemins à $2$ succès parmi $3$ épreuves sont $SS\bar{S}$ , $S\bar{S}S$ et $\bar{S}SS$ .

Quelques valeurs et symétrie

Pour tout entier $n \geqslant 0$ :

$\binom{n}{0} = 1 \qquad \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n$

Les coefficients binomiaux sont symétriques :

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

On peut les calculer à la machine (touche $\boxed{\text{nCr}}$ ) ou les lire dans le triangle de Pascal.

Loi binomiale

On répète un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les $n$ épreuves.

On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , ce que l’on note :

$X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$

La variable $X$ peut prendre toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ .

Probabilité d'obtenir k succès

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, (1 - p)^{\,n - k}$

On reconnaît trois facteurs :

$\dbinom{n}{k}$ : le nombre de chemins menant à $k$ succès ;
$p^{k}$ : la probabilité des $k$ succès ;
$(1 - p)^{\,n - k}$ : la probabilité des $n - k$ échecs.

Espérance d'une loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ , son espérance est :

$E(X) = n\,p$

C’est le nombre moyen de succès attendu sur les $n$ répétitions. Par exemple, en lançant $100$ fois une pièce équilibrée, on attend en moyenne $E(X) = 100 \times 0{,}5 = 50$ piles.

Calculer une probabilité avec la loi binomiale

Vérifier qu’on a bien un schéma de Bernoulli : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.
Identifier les paramètres : le nombre d’épreuves $n$ et la probabilité de succès $p$ . Conclure que $X \sim \mathcal{B}(n \,;\, p)$ .
Appliquer la formule $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}$ en calculant séparément le coefficient binomial et les puissances.
Pour un événement du type « au moins un succès », passer par l’événement contraire : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$ .

Les pièges classiques

Ne pas confondre $p^{k}$ (puissance pour les succès) et $(1 - p)^{\,n - k}$ (puissance pour les échecs) : l’exposant de $p$ est $k$ , celui de $1 - p$ est $n - k$ .
Le coefficient $\dbinom{n}{k}$ ne s’oublie pas : sans lui, on ne compte qu’un seul chemin au lieu de tous.
Vérifier que les épreuves sont bien indépendantes : un tirage sans remise ne donne pas une loi binomiale.
« Au moins un » se traite par le contraire : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$ , et non en additionnant tous les cas un à un.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un coefficient binomial

Dans un schéma de $5$ épreuves de Bernoulli, on veut compter le nombre de chemins réalisant exactement $2$ succès.

Calculer le coefficient binomial $\dbinom{5}{2}$ .

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Reconnaître un schéma de Bernoulli

On lance $7$ fois de suite un dé équilibré à six faces. À chaque lancer, on s'intéresse à l'événement « obtenir un $6$ ». On note $X$ le nombre de $6$ obtenus au cours des $7$ lancers.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres $n$ et $p$ .

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Calculer P(X = k) avec une loi binomiale

On lance $4$ fois une pièce de monnaie équilibrée. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ .

Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ « pile », c'est-à-dire $P(X = 2)$ .

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Espérance d'une loi binomiale

Dans un atelier, une machine produit des pièces dont $2\,\%$ sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève un lot de $50$ pièces et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}02)$ .

Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

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Probabilité d'objets rares dans des packs (gaming)

Dans le jeu EA FC, chaque ouverture de pack contient indépendamment un joueur rare avec une probabilité $p = 0{,}1$ . Léa ouvre $5$ packs identiques et note $X$ le nombre de joueurs rares obtenus. La variable $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}1)$ .

Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ joueurs rares, c'est-à-dire $P(X = 2)$ .

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Retrouver le nombre d'épreuves à partir de l'espérance

Karim revend des paires de sneakers. Chaque paire mise en vente est revendue avec bénéfice, indépendamment des autres, avec une probabilité $p = 0{,}4$ . S'il met $n$ paires en vente, le nombre $X$ de paires revendues avec bénéfice suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}4)$ .

Karim souhaite revendre en moyenne $6$ paires avec bénéfice. Déterminer le nombre $n$ de paires qu'il doit mettre en vente.

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Bonus

Probabilité d'au moins un succès (problème)

Une urne contient des boules dont une proportion $p = 0{,}2$ sont gagnantes. On tire successivement $5$ boules avec remise (la composition de l'urne reste donc inchangée à chaque tirage). On note $X$ le nombre de boules gagnantes obtenues.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule gagnante, c'est-à-dire $P(X \geqslant 1)$ .

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Vidéos virales d'un créateur (problème complet)

Inès publie $6$ vidéos sur TikTok pendant une semaine. On admet que chaque vidéo dépasse les $10\,000$ vues, indépendamment des autres, avec une probabilité $p = 0{,}25$ . On note $X$ le nombre de vidéos qui dépassent ce seuil parmi les $6$ .

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, préciser ses paramètres et calculer l'espérance $E(X)$ .
2. Calculer la probabilité qu'exactement $2$ vidéos dépassent le seuil, c'est-à-dire $P(X = 2)$ .
3. Calculer la probabilité qu'au plus une vidéo dépasse le seuil, c'est-à-dire $P(X \leqslant 1)$ .

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un schéma de Bernoulli ?

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque épreuve n'a que deux issues : succès, de probabilité p, et échec, de probabilité 1 − p. Le nombre de succès suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.

Comment calculer P(X = k) avec une loi binomiale ?

Si X suit la loi binomiale B(n ; p), alors P(X = k) = C(n,k) × p puissance k × (1 − p) puissance (n − k). On multiplie le coefficient binomial C(n,k) (le nombre de chemins donnant k succès) par la probabilité d'un chemin à k succès et n − k échecs.

Quelle est l'espérance d'une loi binomiale ?

Pour une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(n ; p), l'espérance vaut E(X) = n × p. Elle représente le nombre moyen de succès attendu sur les n répétitions, par exemple 50 piles attendus en lançant 100 fois une pièce équilibrée.