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Première Approfondissement gratuit

Démontrer qu'un triangle est rectangle

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; 1)A(1\,;\,1), B(4 ; 2)B(4\,;\,2) et C(0 ; 4)C(0\,;\,4). Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs

    AB⃗ (4−1 ; 2−1)=(3 ; 1)\vec{AB}\,(4 - 1\,;\,2 - 1) = (3\,;\,1) et AC⃗ (0−1 ; 4−1)=(−1 ; 3).\vec{AC}\,(0 - 1\,;\,4 - 1) = (-1\,;\,3).

  2. 2. Calculer le produit scalaire

    AB⃗⋅AC⃗=3×(−1)+1×3=−3+3=0.\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times (-1) + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0.

  3. 3. Conclure

    Le produit scalaire est nul, donc AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont orthogonaux : le triangle ABCABC est rectangle en AA.
Réponse finale
AB⃗⋅AC⃗=0 ⇒ ABC rectangle en A\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \ \Rightarrow\ ABC \text{ rectangle en } A
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