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Rêves Vision
Première

Forme canonique et sommet d'une parabole

Énoncé

Dans un jeu de plateforme, la hauteur du personnage au-dessus du sol (en mètres) pendant un saut est modélisée par f(x)=−x2+6xf(x) = -x^{2} + 6x, pour x∈[0 ; 6]x \in [0\,;\,6], où xx est le temps écoulé en secondes depuis le départ du saut. Mettre f(x)f(x) sous forme canonique, puis déterminer les coordonnées du sommet et interpréter la hauteur maximale.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier les coefficients et calculer l’abscisse du sommet

    On reconnaît a=−1a = -1, b=6b = 6 et c=0c = 0. L’abscisse du sommet est α=−b2a=−6−2=3\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-6}{-2} = 3. Cette valeur appartient à l’intervalle [0 ; 6][0\,;\,6].

  2. 2. Calculer la hauteur au sommet

    On calcule β=f(3)=−32+6×3=−9+18=9\beta = f(3) = -3^{2} + 6 \times 3 = -9 + 18 = 9.

  3. 3. Écrire et vérifier la forme canonique

    La forme canonique est f(x)=−(x−3)2+9f(x) = -(x - 3)^{2} + 9. En développant, on retrouve −(x2−6x+9)+9=−x2+6x-(x^{2} - 6x + 9) + 9 = -x^{2} + 6x.

  4. 4. Interpréter le résultat dans le jeu

    Comme a=−1<0a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas. Son sommet est S(3 ; 9)S(3\,;\,9). Dans ce modèle de jeu, le personnage atteint sa hauteur maximale de 9 mètres au bout de 3 secondes. On vérifie que f(0)=0f(0) = 0 et f(6)=0f(6) = 0 : le personnage part du sol et y revient. La hauteur reste positive entre ces deux instants.
Réponse finale
f(x)=−(x−3)2+9;S(3 ; 9)f(x) = -(x - 3)^{2} + 9 \quad ; \quad S(3\,;\,9)
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