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Première Approfondissement gratuit

Optimiser une aire (problème)

Énoncé

Un maraîcher dispose de 40 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un long mur. Le mur tient lieu d'un des côtés : il n'a donc à grillager que les trois autres côtés. Quelles dimensions rendent l'aire maximale, et combien vaut cette aire ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Modéliser le problème

    Notons xx (en mètres) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Le côté parallèle au mur mesure alors 40−2x40 - 2x. L'aire de l'enclos est A(x)=x (40−2x)=−2x2+40xA(x) = x\,(40 - 2x) = -2x^2 + 40x, avec 0<x<200 < x < 20.

  2. 2. Repérer un maximum

    AA est un trinôme du second degré avec a=−2<0a = -2 < 0 : il admet donc un maximum, atteint à l'abscisse du sommet x=−b2a=−40−4=10.x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-40}{-4} = 10.

  3. 3. Conclure

    Pour x=10x = 10 m, le côté parallèle au mur mesure 40−20=2040 - 20 = 20 m, et l'aire maximale vaut A(10)=10×20=200A(10) = 10 \times 20 = 200 m2^2.
Réponse finale
Amax⁡=200 m2(enclos 10×20 m)A_{\max} = 200\ \text{m}^2 \quad (\text{enclos } 10 \times 20\ \text{m})
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Chapitre

Le second degré : équations, discriminant et signe du trinôme ← Retour au cours

À suivre