Aller au contenu
Rêves Vision
Quatrième Approfondissement gratuit

Au moins une carte rare dans deux packs

Énoncé

Sur EA FC, tu ouvres deux packs l'un après l'autre. Chaque pack a 11 chance sur 44 de contenir une carte rare, indépendamment de l'autre. 1) Construire l'arbre de probabilité des deux ouvertures (rare RR ou pas rare R‾\overline{R}). 2) En déduire la probabilité d'obtenir au moins une carte rare sur les deux packs.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour un pack, « rare » a une probabilité de 14\frac{1}{4}. L'événement contraire « pas rare » a donc pour probabilité 1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
  2. « Au moins une rare » est difficile à compter directement. Pense à son contraire : « aucune rare », c'est-à-dire « pas rare au 1er pack ET pas rare au 2e pack ».
  3. Calcule d'abord P(aucune rare)P(\text{aucune rare}) en multipliant le long du chemin R‾ R‾\overline{R}\,\overline{R}, puis utilise P(au moins une)=1−P(aucune)P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune}).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Probabilités d'un pack

    Pour un pack, l'événement RR « contenir une carte rare » a pour probabilité P(R)=14P(R) = \frac{1}{4}. Son contraire R‾\overline{R} « ne pas contenir de carte rare » a pour probabilité P(R‾)=1−14=34P(\overline{R}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. On vérifie : 14+34=1\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.

  2. 2. Construire l'arbre

    Au premier pack, deux branches : RR (probabilité 14\frac{1}{4}) et R‾\overline{R} (probabilité 34\frac{3}{4}). Depuis chacune, le second pack ouvre à nouveau les branches RR (14\frac{1}{4}) et R‾\overline{R} (34\frac{3}{4}). On obtient 44 chemins : RRRR, R R‾R\,\overline{R}, R‾ R\overline{R}\,R et R‾ R‾\overline{R}\,\overline{R}.

  3. 3. Passer par l'événement contraire

    « Obtenir au moins une rare » regroupe trois chemins (RRRR, R R‾R\,\overline{R}, R‾ R\overline{R}\,R) : c'est long à calculer. Son contraire est « aucune rare », qui correspond au seul chemin R‾ R‾\overline{R}\,\overline{R}. On calcule donc d'abord ce contraire.

  4. 4. Calculer la probabilité d'aucune rare

    Le long du chemin R‾ R‾\overline{R}\,\overline{R}, on multiplie les probabilités : P(aucune rare)=34×34=916P(\text{aucune rare}) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}.

  5. 5. Conclure avec le contraire

    On applique P(au moins une)=1−P(aucune)P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune}) : P(au moins une rare)=1−916=1616−916=716P(\text{au moins une rare}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}. Comme 716≈0,44\frac{7}{16} \approx 0{,}44, tu as un peu moins d'une chance sur deux : l'ordre de grandeur est cohérent pour deux packs à 14\frac{1}{4} chacun. La probabilité d'obtenir au moins une carte rare sur les deux packs est égale à 716\frac{7}{16}.
Réponse finale
P(au moins une rare)=1−34×34=1−916=716P(\text{au moins une rare}) = 1 - \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}
Signaler une erreur

Ta progression

Chapitre

Probabilités ← Retour au cours

À suivre