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Seconde Approfondissement gratuit

Résoudre (x − 1)(x + 2) ≥ 0 par un tableau de signes (bonus)

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} l'inéquation (x−1)(x+2)≥0(x - 1)(x + 2) \ge 0 à l'aide d'un tableau de signes.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Trouver les valeurs qui annulent chaque facteur

    Le membre de gauche est déjà comparé à 00. On cherche où chaque facteur s'annule : x−1=0x - 1 = 0 donne x=1x = 1, et x+2=0x + 2 = 0 donne x=−2.x = -2. Ces deux valeurs découpent la droite réelle.

  2. 2. Étudier le signe de chaque facteur

    Le facteur x−1x - 1 (coefficient de xx positif) est négatif avant 11, positif après. Le facteur x+2x + 2 est négatif avant −2-2, positif après. On range les valeurs dans l'ordre croissant : −2-2 puis 1.1.

  3. 3. Dresser le tableau de signes

    On applique la règle des signes ligne par ligne :
    xx−∞-\infty−2-211+∞+\infty
    x−1x - 1−-−-00++
    x+2x + 2−-00++++
    (x−1)(x+2)(x-1)(x+2)++00−-00++

    Le produit de deux négatifs est positif (avant −2-2), un négatif par un positif est négatif (entre −2-2 et 11), et deux positifs donnent un positif (après 11).

  4. 4. Lire les solutions de l'inéquation

    On cherche où le produit est positif ou nul (≥0\ge 0). La dernière ligne est positive sur ]−∞ ; −2[]-\infty\,;\,-2[ et sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[, et nulle en −2-2 et 1.1. Comme l'inégalité est large, on inclut ces deux valeurs.

  5. 5. Conclure avec une réunion d'intervalles

    Les solutions forment la réunion S= ]−∞ ; −2]∪[1 ; +∞[.S = \,]-\infty\,;\,-2] \cup [1\,;\,+\infty[. (Contrôle : x=0x = 0, situé entre −2-2 et 11, donne (0−1)(0+2)=−2<0(0-1)(0+2) = -2 < 0 : exclu, ce qui est cohérent.)
Réponse finale
S= ]−∞ ; −2]∪[1 ; +∞[S = \,]-\infty\,;\,-2] \cup [1\,;\,+\infty[
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