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Comparer deux séries de même moyenne (problème)

Énoncé

Deux archers s'entraînent. Sur 55 tirs, leurs scores sont : Archer A : 8, 9, 10, 11, 128,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12 ; Archer B : 2, 6, 10, 14, 182,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18. Montrer qu'ils ont la même moyenne, comparer leurs écarts-types, puis dire lequel est le plus régulier.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer les deux moyennes

    Archer A : 8+9+10+11+125=505=10\dfrac{8 + 9 + 10 + 11 + 12}{5} = \dfrac{50}{5} = 10. Archer B : 2+6+10+14+185=505=10\dfrac{2 + 6 + 10 + 14 + 18}{5} = \dfrac{50}{5} = 10. Les deux archers ont donc la même moyenne de 1010 points.

  2. 2. Évaluer la dispersion autour de la moyenne

    Pour A, les écarts à la moyenne sont −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 : les valeurs restent proches de 1010. Pour B, les écarts sont −8,−4,0,4,8-8, -4, 0, 4, 8 : les valeurs sont bien plus éloignées de 1010. La somme des carrés des écarts vaut 4+1+0+1+4=104+1+0+1+4 = 10 pour A, contre 64+16+0+16+64=16064+16+0+16+64 = 160 pour B.

  3. 3. Calculer les écarts-types

    L'écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts. Pour A : σA=105=2≈1,41\sigma_A = \sqrt{\dfrac{10}{5}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41. Pour B : σB=1605=32≈5,66.\sigma_B = \sqrt{\dfrac{160}{5}} = \sqrt{32} \approx 5{,}66.

  4. 4. Interpréter

    Même moyenne, mais σA<σB\sigma_A < \sigma_B : l'archer A est beaucoup plus régulier (ses tirs sont resserrés autour de 1010), tandis que l'archer B est irrégulier. C'est tout l'intérêt de l'écart-type : il distingue deux séries que la moyenne seule ne permet pas de départager.
Réponse finale
xˉA=xˉB=10,σA=2≈1,41<σB=32≈5,66  ⇒  A est plus reˊgulier\bar{x}_A = \bar{x}_B = 10,\quad \sigma_A = \sqrt{2} \approx 1{,}41 < \sigma_B = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \;\Rightarrow\; A \text{ est plus régulier}
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