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Les seuils de rentabilité d'un food-truck

Énoncé

Un food-truck propose des burgers maison. Quand il en prépare xx centaines sur la semaine (avec xx compris entre 00 et 1010), son bénéfice hebdomadaire, en centaines d'euros, est modélisé par B(x)=−x3+12x2−21x−18B(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x - 18. On admet que B(3)=0B(3) = 0. À l'aide du tableau de variations, déterminer le seuil de rentabilité (le nombre de burgers à partir duquel l'activité devient bénéficiaire) et le nombre de burgers à partir duquel une surproduction fait repasser le bénéfice dans le négatif.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence comme d'habitude : dérive BB (attention, la dérivée de la constante −18-18 vaut 00), puis factorise B′(x)B'(x) avec −3-3 en facteur.
  2. Un « seuil de rentabilité » est une valeur de xx où le bénéfice B(x)B(x) vaut 00 : cherche où la courbe passe du négatif au positif, puis du positif au négatif.
  3. Sers-toi des valeurs calculées dans le tableau : entre deux nombres consécutifs où BB change de signe, il y a un seuil. L'énoncé te donne déjà B(3)=0B(3) = 0 pour le premier ; pour le second, regarde le signe de B(9)B(9) et de B(10)B(10).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver et factoriser

    On dérive B(x)=−x3+12x2−21x−18B(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x - 18 : la dérivée du terme constant −18-18 est nulle, donc B′(x)=−3x2+24x−21B'(x) = -3x^2 + 24x - 21. On met −3-3 en facteur : B′(x)=−3(x2−8x+7)=−3(x−1)(x−7)B'(x) = -3\left(x^2 - 8x + 7\right) = -3(x - 1)(x - 7). Les racines de B′B' sont x=1x = 1 et x=7x = 7.

  2. 2. Étudier le signe de la dérivée

    Le coefficient dominant −3-3 est négatif : B′(x)B'(x) est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. Sur [0 ; 10][0\,;\,10] : B′(x)<0B'(x) < 0 sur [0 ; 1[[0\,;\,1[, B′(x)>0B'(x) > 0 sur ]1 ; 7[]1\,;\,7[, B′(x)<0B'(x) < 0 sur ]7 ; 10]]7\,;\,10].

  3. 3. Calculer les valeurs clés

    On calcule BB aux bornes, aux racines de B′B', et à quelques entiers pour suivre le signe : B(0)=−18B(0) = -18 ; B(1)=−1+12−21−18=−28B(1) = -1 + 12 - 21 - 18 = -28 ; B(3)=−27+108−63−18=0B(3) = -27 + 108 - 63 - 18 = 0 ; B(7)=−343+588−147−18=80B(7) = -343 + 588 - 147 - 18 = 80 ; B(9)=−729+972−189−18=36B(9) = -729 + 972 - 189 - 18 = 36 ; B(10)=−1000+1200−210−18=−28B(10) = -1000 + 1200 - 210 - 18 = -28.

  4. 4. Dresser le tableau de variations

    Sur [0 ; 1][0\,;\,1], BB décroît de −18-18 à −28-28 (minimum local en x=1x = 1). Sur [1 ; 7][1\,;\,7], BB croît de −28-28 à 8080 (maximum local en x=7x = 7). Sur [7 ; 10][7\,;\,10], BB décroît de 8080 à −28-28. Le bénéfice maximal vaut 8080 centaines d'euros, soit 8 0008\,000 €, atteint pour x=7x = 7 (soit 700700 burgers).

  5. 5. Trouver le premier seuil de rentabilité

    Le bénéfice est négatif au départ (BB reste sous 00 de x=0x = 0 jusqu'au minimum, puis remonte). D'après le tableau, BB croît sur [1 ; 7][1\,;\,7] et l'énoncé donne B(3)=0B(3) = 0. Le bénéfice passe donc du négatif au positif en x=3x = 3. Le seuil de rentabilité est atteint à x=3x = 3, soit 300300 burgers : en dessous, le food-truck perd de l'argent ; au-dessus, il devient bénéficiaire.

  6. 6. Trouver le seuil de surproduction

    Sur [7 ; 10][7\,;\,10], le bénéfice décroît de 8080 à −28-28. Comme B(9)=36B(9) = 36 (positif) et B(10)=−28B(10) = -28 (négatif), le bénéfice change de signe entre x=9x = 9 et x=10x = 10. Au-delà d'environ 99 centaines, soit environ 900900 à 1 0001\,000 burgers, la surproduction (coûts qui explosent) refait passer le bénéfice dans le négatif. Le food-truck est rentable pour une production comprise entre 300300 et environ 960960 burgers, et son bénéfice est maximal (8 0008\,000 €) pour 700700 burgers.
Réponse finale
Seuil de rentabiliteˊ : x=3 (soit 300 burgers)  ;  surproduction deˊficitaire entre x=9 et x=10 (environ 900 aˋ 1000 burgers)  ;  beˊneˊfice maximal B(7)=80 (soit 8000 €)\text{Seuil de rentabilité : } x = 3 \text{ (soit } 300 \text{ burgers)} \;;\; \text{surproduction déficitaire entre } x = 9 \text{ et } x = 10 \text{ (environ } 900 \text{ à } 1000 \text{ burgers)} \;;\; \text{bénéfice maximal } B(7) = 80 \text{ (soit } 8000 \,\text{€})
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