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Terminale pro

Comparer un ajustement affine et un ajustement exponentiel

Énoncé

Un atelier de production note chaque année le nombre d'articles fabriqués (en milliers). On note xx le rang de l'année.
xx1122334455
yy50507272103103148148213213

Au tableur, on teste deux courbes de tendance. La droite d'ajustement affine a pour équation y=40,2 x−3,4y = 40{,}2\,x - 3{,}4 avec R2=0,957R^2 = 0{,}957. La courbe d'ajustement exponentiel a pour équation y=34,9×1,44 xy = 34{,}9 \times 1{,}44^{\,x} avec R2=0,999R^2 = 0{,}999. 1. Lequel des deux ajustements est le plus adapté ? 2. Avec le modèle retenu, estimer la production de la sixième année.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour choisir entre deux ajustements, compare leurs R2R^2 : on garde celui qui est le plus proche de 11.
  2. Regarde aussi les données brutes : si les écarts d'une année à l'autre grandissent, c'est le signe d'une croissance exponentielle plutôt qu'affine.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Comparer les coefficients de détermination

    On compare les deux valeurs de R2R^2 : affine R2=0,957R^2 = 0{,}957, exponentiel R2=0,999R^2 = 0{,}999. Le meilleur ajustement est celui dont R2R^2 est le plus proche de 11. Comme 0,9990{,}999 est plus proche de 11 que 0,9570{,}957, l'ajustement exponentiel est le plus adapté.

  2. 2. Confirmer avec la forme des données

    On peut vérifier que la production n'augmente pas d'une quantité fixe chaque année : 72−50=2272 - 50 = 22, puis 103−72=31103 - 72 = 31, puis 148−103=45148 - 103 = 45... les hausses s'accélèrent. En revanche, le rapport d'une année à la suivante est presque constant (7250≈1,44\frac{72}{50} \approx 1{,}44, 10372≈1,43\frac{103}{72} \approx 1{,}43). C'est typique d'une croissance exponentielle, ce qui confirme le choix.

  3. 3. Estimer la production de la sixième année

    On utilise le modèle retenu y=34,9×1,44 xy = 34{,}9 \times 1{,}44^{\,x} au rang x=6x = 6 : y=34,9×1,44 6.y = 34{,}9 \times 1{,}44^{\,6}. On calcule d'abord 1,44 6≈8,921{,}44^{\,6} \approx 8{,}92, donc y≈34,9×8,92≈311,3.y \approx 34{,}9 \times 8{,}92 \approx 311{,}3.

  4. 4. Conclure

    La production est exprimée en milliers d'articles. Avec l'ajustement exponentiel (le plus fiable car R2=0,999R^2 = 0{,}999), on estime la production de la sixième année à environ 311311 milliers d'articles, soit environ 311 000311\,000 articles.
Réponse finale
Modeˋle exponentiel (R2=0,999).y=34,9×1,44 6≈311 milliers d’articles\text{Modèle exponentiel } (R^2 = 0{,}999). \quad y = 34{,}9 \times 1{,}44^{\,6} \approx 311 \ \text{milliers d'articles}
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