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Terminale ST2S Approfondissement gratuit

Croissance d'une population de bactéries

Énoncé

Dans une culture en laboratoire, le nombre de bactéries est modélisé par N(t)=200 e 0,15 tN(t) = 200\,e^{\,0{,}15\,t}, où tt est le temps en heures (t≥0t \geq 0).

1. Combien de bactéries la culture contient-elle au départ ?
2. Calcule le nombre de bactéries au bout de 44 heures, puis au bout de 1010 heures (arrondis à l'unité).
3. Étudie le sens de variation de NN et interprète le résultat.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le départ correspond à t=0t = 0. Souviens-toi que e0=1e^{0} = 1.
  2. Pour les valeurs, remplace tt par le temps demandé, puis calcule e 0,15 te^{\,0{,}15\,t} à la calculatrice avant de multiplier par 200200.
  3. Pour le sens de variation, dérive avec (e kt)′=k e kt\left(e^{\,kt}\right)' = k\,e^{\,kt}, puis regarde le signe de kk sachant que e kt>0e^{\,kt} > 0.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nombre de bactéries au départ

    Au départ, t=0t = 0 : N(0)=200 e 0,15×0=200 e0=200×1=200N(0) = 200\,e^{\,0{,}15 \times 0} = 200\,e^{0} = 200 \times 1 = 200 bactéries.

  2. 2. Nombre de bactéries au bout de 4 heures

    On remplace tt par 44 : N(4)=200 e 0,15×4=200 e 0,6N(4) = 200\,e^{\,0{,}15 \times 4} = 200\,e^{\,0{,}6}. Or e 0,6≈1,8221e^{\,0{,}6} \approx 1{,}8221, donc N(4)≈200×1,8221≈364,42N(4) \approx 200 \times 1{,}8221 \approx 364{,}42, soit environ 364364 bactéries (arrondi à l'unité).

  3. 3. Nombre de bactéries au bout de 10 heures

    On remplace tt par 1010 : N(10)=200 e 0,15×10=200 e 1,5N(10) = 200\,e^{\,0{,}15 \times 10} = 200\,e^{\,1{,}5}. Or e 1,5≈4,4817e^{\,1{,}5} \approx 4{,}4817, donc N(10)≈200×4,4817≈896,34N(10) \approx 200 \times 4{,}4817 \approx 896{,}34, soit environ 896896 bactéries (arrondi à l'unité).

  4. 4. Sens de variation et interprétation

    La dérivée vaut N′(t)=200×0,15 e 0,15 t=30 e 0,15 tN'(t) = 200 \times 0{,}15\,e^{\,0{,}15\,t} = 30\,e^{\,0{,}15\,t}. Comme e 0,15 t>0e^{\,0{,}15\,t} > 0, on a N′(t)>0N'(t) > 0 : le coefficient 0,150{,}15 est positif, donc NN est strictement croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. La population de bactéries augmente sans cesse au cours du temps.
Réponse finale
N(0)=200  ;N(4)≈364  ;N(10)≈896  ;N est strictement croissante (population en augmentation).N(0) = 200 \;;\quad N(4) \approx 364 \;;\quad N(10) \approx 896 \;;\quad N \text{ est strictement croissante (population en augmentation).}
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