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Rêves Vision
Terminale STI2D

La vitesse d'un mobile avec une racine carrée

Énoncé

Un mobile se déplace sur un rail. Sa position, en mètres, est donnée par x(t)=1+t2x(t) = \sqrt{1 + t^{2}}, où tt est le temps (en secondes), avec t≥0t \geq 0. La vitesse instantanée est la dérivée de la position. Calculer la vitesse v(t)=x′(t)v(t) = x'(t), puis déterminer le signe de vv et calculer la vitesse à l'instant t=2t = 2 s.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La position x(t)=1+t2x(t) = \sqrt{1 + t^{2}} est une racine composée : repère l'intérieur u(t)=1+t2u(t) = 1 + t^{2} et calcule u′(t)u'(t).
  2. La dérivée de u\sqrt{u} est u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} : remplace uu et u′u', puis simplifie le facteur 22 qui apparaît au numérateur et au dénominateur.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la fonction composée

    La position x(t)=1+t2x(t) = \sqrt{1 + t^{2}} est une racine composée : l'intérieur est u(t)=1+t2u(t) = 1 + t^{2}, donc u′(t)=2tu'(t) = 2t. L'intérieur est toujours strictement positif (1+t2≥1>01 + t^{2} \geq 1 > 0), donc xx est bien dérivable pour tout t≥0t \geq 0.

  2. 2. Appliquer la formule de la racine de u

    La dérivée de u\sqrt{u} est u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. On remplace : v(t)=x′(t)=u′2u=2t21+t2.v(t) = x'(t) = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} = \dfrac{2t}{2\sqrt{1 + t^{2}}}.

  3. 3. Simplifier l'expression de la vitesse

    On simplifie le facteur 22 présent au numérateur et au dénominateur : v(t)=2t21+t2=t1+t2.v(t) = \dfrac{2t}{2\sqrt{1 + t^{2}}} = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}.

  4. 4. Étudier le signe de la vitesse

    Le dénominateur 1+t2\sqrt{1 + t^{2}} est toujours strictement positif. Pour t≥0t \geq 0, le numérateur tt est positif, donc v(t)≥0v(t) \geq 0 : la vitesse est positive, le mobile avance (et il est immobile à l'instant t=0t = 0, car v(0)=0v(0) = 0).

  5. 5. Calculer la vitesse à l'instant t = 2

    On remplace t=2t = 2 : v(2)=21+22=25≈22,236≈0,89v(2) = \dfrac{2}{\sqrt{1 + 2^{2}}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \approx \dfrac{2}{2{,}236} \approx 0{,}89 m/s. La vitesse est v(t)=t1+t2v(t) = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}}, positive sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, et vaut environ 0,890{,}89 m/s à t=2t = 2 s.
Réponse finale
v(t)=t1+t2≥0;v(2)=25≈0,89 m/sv(t) = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} \geq 0 \quad ; \quad v(2) = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}89 \ \text{m/s}
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