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Rêves Vision
Terminale STI2D

Montée en température d'un plateau d'imprimante 3D

Énoncé

Avant d'imprimer, le plateau chauffant d'une imprimante 3D doit atteindre une température de consigne θc=60\theta_c = 60 °C. Partant de la température de l'atelier θ(0)=20\theta(0) = 20 °C, sa température θ(t)\theta(t) (en °C, tt en minutes) vérifie l'équation différentielle θ′(t)=k(θc−θ(t))\theta'(t) = k\big(\theta_c - \theta(t)\big) avec k=0,1k = 0{,}1 min−1^{-1}. Déterminer l'expression de θ(t)\theta(t), identifier le régime permanent, puis calculer la température au bout de 10 minutes (on arrondira au dixième de degré).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Développe le second membre pour faire apparaître la forme y′=a y+by' = a\,y + b : θ′(t)=k θc−k θ(t)\theta'(t) = k\,\theta_c - k\,\theta(t), soit θ′(t)=−k θ(t)+k θc\theta'(t) = -k\,\theta(t) + k\,\theta_c. Ici a=−ka = -k et b=k θcb = k\,\theta_c.
  2. Le régime permanent est la valeur d'équilibre −ba-\dfrac{b}{a} : c'est la température pour laquelle θ′(t)=0\theta'(t) = 0, donc plus rien ne bouge. Tu devrais retrouver la consigne θc=60\theta_c = 60 °C.
  3. Écris θ(t)=−ba+K eat\theta(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{a t}, puis utilise θ(0)=20\theta(0) = 20 pour trouver KK : c'est l'écart entre la température de départ et la consigne.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Mettre l'équation sous la forme du cours

    On développe le second membre : θ′(t)=k θc−k θ(t)\theta'(t) = k\,\theta_c - k\,\theta(t), que l'on réécrit θ′(t)=−k θ(t)+k θc\theta'(t) = -k\,\theta(t) + k\,\theta_c. Avec k=0,1k = 0{,}1 et θc=60\theta_c = 60, cela donne θ′(t)=−0,1 θ(t)+6\theta'(t) = -0{,}1\,\theta(t) + 6. C'est une équation y′=a y+by' = a\,y + b avec a=−0,1a = -0{,}1 et b=6b = 6.

  2. 2. Déterminer le régime permanent

    Le régime permanent est la valeur d'équilibre −ba=−6−0,1=60-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{-0{,}1} = 60 °C. C'est exactement la température de consigne θc=60\theta_c = 60 °C : le plateau finit par se stabiliser à la consigne, ce qui est cohérent physiquement.

  3. 3. Écrire la solution générale

    D'après le cours, θ(t)=−ba+K eat\theta(t) = -\dfrac{b}{a} + K\,e^{a t}, soit θ(t)=60+K e−0,1 t\theta(t) = 60 + K\,e^{-0{,}1\,t}, où KK est une constante à déterminer.

  4. 4. Utiliser la condition initiale

    À t=0t = 0, le plateau est à la température de l'atelier : θ(0)=20\theta(0) = 20. Or θ(0)=60+K e0=60+K\theta(0) = 60 + K\,e^{0} = 60 + K, car e0=1e^{0} = 1. On résout 60+K=2060 + K = 20, donc K=−40K = -40.

  5. 5. Écrire l'expression de la température

    On remplace KK par −40-40. La température du plateau est θ(t)=60−40 e−0,1 t\theta(t) = 60 - 40\,e^{-0{,}1\,t} °C. Le terme −40 e−0,1 t-40\,e^{-0{,}1\,t} est le régime transitoire : comme a=−0,1<0a = -0{,}1 < 0, il tend vers 00, et il ne reste que le régime permanent 6060 °C.

  6. 6. Calculer la température après 10 minutes

    On remplace tt par 1010 : θ(10)=60−40 e−0,1×10=60−40 e−1\theta(10) = 60 - 40\,e^{-0{,}1 \times 10} = 60 - 40\,e^{-1}. Comme e−1≈0,368e^{-1} \approx 0{,}368, on obtient θ(10)≈60−40×0,368≈60−14,72≈45,3\theta(10) \approx 60 - 40 \times 0{,}368 \approx 60 - 14{,}72 \approx 45{,}3. Après 10 minutes, le plateau est à environ 45,345{,}3 °C : il n'a donc pas encore atteint la consigne de 6060 °C.
Réponse finale
θ(t)=60−40 e−0,1 t °C;reˊgime permanent 60 °C;θ(10)≈45,3 °C\theta(t) = 60 - 40\,e^{-0{,}1\,t} \ \text{°C} ; \quad \text{régime permanent } 60 \ \text{°C} ; \quad \theta(10) \approx 45{,}3 \ \text{°C}
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