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Somme de deux signaux : amplitude et phase résultantes

Énoncé

Deux haut-parleurs émettent, à la même fréquence, deux signaux représentés par les complexes s1‾=4 ei⋅0\underline{s_1} = 4\,e^{i\cdot 0} et s2‾=4 eiπ3\underline{s_2} = 4\,e^{i\frac{\pi}{3}} (en volts). Le signal reçu est la somme s‾=s1‾+s2‾\underline{s} = \underline{s_1} + \underline{s_2}. Déterminer l'amplitude (le module) et la phase (l'argument) du signal résultant, puis l'écrire sous forme exponentielle.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. On n'additionne pas deux formes exponentielles directement : commence par écrire chaque signal sous la forme a+iba + ib.
  2. Rappelle-toi que cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} et sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} pour développer s2‾\underline{s_2}.
  3. Une fois s‾=6+2i3\underline{s} = 6 + 2i\sqrt{3} obtenu, le module est 62+(23)2\sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} ; pense à simplifier 48=43\sqrt{48} = 4\sqrt{3}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Repasser chaque signal en forme algébrique

    On ne peut pas additionner directement deux formes exponentielles : on les écrit d'abord sous la forme a+iba + ib. Pour s1‾\underline{s_1} : s1‾=4 ei⋅0=4(cos⁡0+isin⁡0)=4(1+0)=4.\underline{s_1} = 4\,e^{i\cdot 0} = 4(\cos 0 + i\sin 0) = 4(1 + 0) = 4. Pour s2‾\underline{s_2} : s2‾=4 eiπ3=4(cos⁡π3+isin⁡π3)=4(12+i32)=2+2i3.\underline{s_2} = 4\,e^{i\frac{\pi}{3}} = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + 2i\sqrt{3}.

  2. 2. Additionner les deux signaux

    On ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles : s‾=s1‾+s2‾=(4+2)+(0+23)i.\underline{s} = \underline{s_1} + \underline{s_2} = (4 + 2) + (0 + 2\sqrt{3})i. Donc s‾=6+2i3.\underline{s} = 6 + 2i\sqrt{3}.

  3. 3. Calculer l'amplitude (le module)

    L'amplitude du signal résultant est le module de s‾\underline{s} : ∣s‾∣=62+(23)2.|\underline{s}| = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2}. Or (23)2=22×(3)2=4×3=12(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12, donc ∣s‾∣=36+12=48.|\underline{s}| = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48}. On simplifie : 48=16×3=43≈6,93\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 V.

  4. 4. Déterminer la phase (l'argument)

    La phase θ\theta vérifie cos⁡θ=643\cos\theta = \dfrac{6}{4\sqrt{3}} et sin⁡θ=2343.\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}. Pour le sinus : sin⁡θ=24=12.\sin\theta = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}. Pour le cosinus, on multiplie haut et bas par 3\sqrt{3} : cos⁡θ=643=634×3=6312=32.\cos\theta = \dfrac{6}{4\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{4 \times 3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{12} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Un cosinus égal à 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} et un sinus égal à 12\dfrac{1}{2} (tous deux positifs) donnent θ=π6.\theta = \dfrac{\pi}{6}.

  5. 5. Conclure

    On rassemble le module et l'argument dans s‾=r eiθ\underline{s} = r\,e^{i\theta}. Le signal résultant a pour amplitude 43≈6,934\sqrt{3} \approx 6{,}93 V et pour phase π6\dfrac{\pi}{6} rad, soit s‾=43 eiπ6\underline{s} = 4\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{6}}. La phase π6\dfrac{\pi}{6} se situe bien à mi-chemin entre 00 et π3\dfrac{\pi}{3} : c'est cohérent puisque les deux signaux ont la même amplitude.
Réponse finale
s‾=6+2i3=43 eiπ6\underline{s} = 6 + 2i\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\,e^{i\frac{\pi}{6}}
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