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Étalonnage d'un capteur de pression

Énoncé

Pour étalonner un capteur de pression, on applique des pressions connues pp (en bar) et on relève la tension de sortie UU (en V) :
pp (bar)012345
UU (V)0,500,690,921,101,281,51

Le capteur est conçu pour fonctionner entre 00 et 55 bar.

1. Déterminer, à la calculatrice, l'équation de la droite des moindres carrés U=ap+bU = a p + b (arrondir aa et bb à 0,010{,}01) et donner le coefficient de corrélation rr.
2. Estimer la tension de sortie pour une pression de 3,53{,}5 bar.
3. En exploitation, le capteur renvoie U=1,00U = 1{,}00 V : à quelle pression cela correspond-il ?
4. Un technicien veut utiliser ce même modèle pour estimer la tension à 88 bar. Calculer la valeur prévue, puis discuter sa fiabilité.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Entre les pressions dans L1L_1 et les tensions dans L2L_2, puis lance la régression linéaire « ap+bap+b » : tu obtiens aa, bb et rr.
  2. Pour la question 3, tu connais UU et tu cherches pp : il faut résoudre ap+b=1,00a p + b = 1{,}00, donc p=U−bap = \dfrac{U - b}{a}.
  3. Pour la question 4, compare la pression 88 bar à la plage des mesures (00 à 55 bar) : es-tu en train d'interpoler ou d'extrapoler ? Le capteur fonctionne-t-il encore au-delà de 55 bar ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Obtenir l'équation et le coefficient de corrélation

    On entre les pressions dans L1L_1 et les tensions dans L2L_2, puis on lance la régression linéaire. La calculatrice donne a≈0,20a \approx 0{,}20, b≈0,50b \approx 0{,}50 et un coefficient de corrélation r≈0,999r \approx 0{,}999. L'équation de la droite des moindres carrés est :
    U=0,20 p+0,50.U = 0{,}20\,p + 0{,}50.
    Comme ∣r∣≈0,999|r| \approx 0{,}999 est très proche de 11, l'ajustement affine est excellent : on peut s'appuyer sur cette droite en confiance dans la plage mesurée.

  2. 2. Estimer la tension à 3,5 bar (interpolation)

    La pression 3,53{,}5 bar est comprise entre 00 et 55 bar : c'est une interpolation, donc une estimation fiable. On remplace pp par 3,53{,}5 :
    U=0,20×3,5+0,50=0,70+0,50=1,20.U = 0{,}20 \times 3{,}5 + 0{,}50 = 0{,}70 + 0{,}50 = 1{,}20.
    La tension de sortie prévue est d'environ 1,201{,}20 V.

  3. 3. Retrouver la pression pour U = 1,00 V

    Ici on connaît la tension et on cherche la pression : on résout l'équation 0,20 p+0,50=1,000{,}20\,p + 0{,}50 = 1{,}00. On soustrait 0,500{,}50 :
    0,20 p=1,00−0,50=0,50,0{,}20\,p = 1{,}00 - 0{,}50 = 0{,}50,
    puis on divise par 0,200{,}20 :
    p=0,500,20=2,5.p = \frac{0{,}50}{0{,}20} = 2{,}5.
    Une tension de 1,001{,}00 V correspond donc à une pression d'environ 2,52{,}5 bar (valeur bien située dans la plage de mesure : estimation fiable).

  4. 4. Calculer la prévision à 8 bar

    On applique malgré tout la formule en remplaçant pp par 88 :
    U=0,20×8+0,50=1,60+0,50=2,10.U = 0{,}20 \times 8 + 0{,}50 = 1{,}60 + 0{,}50 = 2{,}10.
    Le modèle donne une tension prévue d'environ 2,102{,}10 V.

  5. 5. Discuter la fiabilité de l'extrapolation

    La pression 88 bar est en dehors de la plage des mesures (00 à 55 bar) : il s'agit d'une extrapolation. Rien ne garantit que la relation reste affine au-delà de 55 bar ; de plus, le capteur est conçu pour aller jusqu'à 55 bar et risque de saturer au-delà. La valeur 2,102{,}10 V est donc à considérer avec prudence : elle n'est pas fiable. L'équation est U=0,20 p+0,50U = 0{,}20\,p + 0{,}50 avec r≈0,999r \approx 0{,}999 ; à 3,53{,}5 bar on prévoit 1,201{,}20 V et 1,001{,}00 V correspond à 2,52{,}5 bar (estimations fiables), tandis que la valeur 2,102{,}10 V annoncée à 88 bar relève d'une extrapolation hors plage et n'est pas fiable.
Réponse finale
U=0,20 p+0,50 (r≈0,999);U(3,5)=1,20 V;U=1,00 V⇒p=2,5 bar;U(8)=2,10 V (extrapolation hors plage : non fiable)U = 0{,}20\,p + 0{,}50 \ (r \approx 0{,}999) \quad ; \quad U(3{,}5) = 1{,}20 \ \text{V} \quad ; \quad U = 1{,}00 \ \text{V} \Rightarrow p = 2{,}5 \ \text{bar} \quad ; \quad U(8) = 2{,}10 \ \text{V} \ \text{(extrapolation hors plage : non fiable)}
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