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Terminale STI2D Approfondissement gratuit

Amortissement d'un crédit d'équipement à mensualités décroissantes

Énoncé

Pour financer l'installation de panneaux solaires, un atelier choisit un plan de remboursement à mensualités décroissantes : la première mensualité est de 300300 €, et chaque mois la mensualité ne représente que 90 %90\,\% de la précédente. La mensualité du mois de rang nn (avec n=0n = 0 pour le premier mois) est donc mn=300×0,9nm_n = 300 \times 0{,}9^{n} (en euros). On note CnC_n le capital total remboursé après n+1n+1 mois. 1) Calculer le capital remboursé au bout des 66 premiers mois, c'est-à-dire C5C_5 (somme de m0m_0 à m5m_5). 2) Si le plan se poursuivait indéfiniment, vers quel capital maximal le total remboursé tendrait-il ? 3) En déduire si un équipement coûtant 3 2003\,200 € peut être intégralement remboursé par ce plan.
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  1. Les mensualités forment une suite géométrique : identifie son premier terme m0m_0 et sa raison qq.
  2. Question 1 : additionne 66 termes (de m0m_0 à m5m_5) avec C=m0×1−q 61−qC = m_0 \times \frac{1 - q^{\,6}}{1 - q}.
  3. Questions 2 et 3 : comme 0<q<10 < q < 1, le total tend vers m01−q\frac{m_0}{1 - q} ; compare ensuite cette limite au prix de l'équipement.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la suite des mensualités

    Chaque mois, la mensualité est multipliée par 0,90{,}9, donc (mn)(m_n) est une suite géométrique de premier terme m0=300m_0 = 300 € et de raison q=0,9q = 0{,}9.

  2. 2. Question 1 - poser la somme des 6 premières mensualités

    Le capital remboursé après 66 mois est C5=m0+m1+⋯+m5C_5 = m_0 + m_1 + \dots + m_5, soit 66 termes. On applique la formule C=m0×1−q 61−q=300×1−0,961−0,9C = m_0 \times \frac{1 - q^{\,6}}{1 - q} = 300 \times \frac{1 - 0{,}9^{6}}{1 - 0{,}9}.

  3. 3. Question 1 - calculer

    On calcule 0,96=0,5314410{,}9^{6} = 0{,}531441, donc le numérateur vaut 1−0,531441=0,4685591 - 0{,}531441 = 0{,}468559 et le dénominateur 1−0,9=0,11 - 0{,}9 = 0{,}1. On en déduit C5=300×0,4685590,1=300×4,68559=1 405,677C_5 = 300 \times \frac{0{,}468559}{0{,}1} = 300 \times 4{,}68559 = 1\,405{,}677, soit C5≈1 405,68C_5 \approx 1\,405{,}68 €. Au bout des 6 premiers mois, l'atelier a remboursé environ 1 405,681\,405{,}68 €.

  4. 4. Question 2 - étudier le total à long terme

    La raison q=0,9q = 0{,}9 vérifie −1<q<1-1 < q < 1, donc q n+1q^{\,n+1} tend vers 00 quand nn devient grand. Le capital total remboursé se rapproche alors de la valeur limite m01−q=3001−0,9=3000,1=3 000\frac{m_0}{1 - q} = \frac{300}{1 - 0{,}9} = \frac{300}{0{,}1} = 3\,000 €.

  5. 5. Question 2 - interpréter la limite

    Comme les mensualités diminuent géométriquement, le capital remboursé ne dépasse jamais cette limite, même en payant indéfiniment. Avec ce plan, le total remboursé tend vers 3 0003\,000 € : c'est le capital maximal que le plan permet de rembourser.

  6. 6. Question 3 - comparer au prix de l'équipement

    L'équipement coûte 3 2003\,200 €, or le total remboursé reste toujours inférieur à sa limite 3 0003\,000 €. Comme 3 000<3 2003\,000 < 3\,200, le plan ne peut jamais atteindre le prix de l'équipement. Non : ce plan à mensualités décroissantes ne permet pas de rembourser intégralement un équipement de 3 2003\,200 €, car le capital remboursé plafonne à 3 0003\,000 €.
Réponse finale
C5=300×1−0,961−0,9≈1 405,68 €;Cn⟶3001−0,9=3 000 €<3 200 € ⇒ remboursement impossibleC_5 = 300 \times \frac{1 - 0{,}9^{6}}{1 - 0{,}9} \approx 1\,405{,}68 \ \text{€} \quad ; \quad C_n \longrightarrow \frac{300}{1 - 0{,}9} = 3\,000 \ \text{€} < 3\,200 \ \text{€} \ \Rightarrow \ \text{remboursement impossible}
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