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Rêves Vision
Terminale STMG

Maximiser un bénéfice

Énoncé

Une entreprise vend qq articles par semaine. Son bénéfice, en euros, est modélisé par B(q)=−0,5 q2+60q−1 000B(q) = -0{,}5\,q^2 + 60q - 1\,000 pour q∈[0 ; 120]q \in [0\,;\,120]. Déterminer le nombre d'articles à vendre pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    B′(q)=−0,5×2q+60=−q+60.B'(q) = -0{,}5 \times 2q + 60 = -q + 60.

  2. 2. Annuler la dérivée

    B′(q)=−q+60=0  ⟺  q=60.B'(q) = -q + 60 = 0 \iff q = 60.

  3. 3. Étudier le signe de B′

    Le coefficient de qq est −1<0-1 < 0, donc B′(q)>0B'(q) > 0 pour q<60q < 60 et B′(q)<0B'(q) < 0 pour q>60q > 60. Le bénéfice est donc croissant sur [0 ; 60][0\,;\,60] puis décroissant sur [60 ; 120][60\,;\,120] : il atteint un maximum en q=60q = 60.

  4. 4. Calculer le bénéfice maximal

    B(60)=−0,5×602+60×60−1 000=−0,5×3 600+3 600−1 000=−1 800+3 600−1 000=800.B(60) = -0{,}5 \times 60^2 + 60 \times 60 - 1\,000 = -0{,}5 \times 3\,600 + 3\,600 - 1\,000 = -1\,800 + 3\,600 - 1\,000 = 800. Le bénéfice est donc maximal pour 6060 articles vendus, et vaut alors 800800 €.
Réponse finale
q=60 articlesetBmax⁡=B(60)=800 €q = 60 \text{ articles} \quad\text{et}\quad B_{\max} = B(60) = 800 \text{ €}
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