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Terminale STMG Approfondissement gratuit

Étude complète du chiffre d'affaires d'une start-up (problème)

Énoncé

Une start-up suit son chiffre d'affaires annuel (en milliers d'euros) sur ses 55 premières années, selon le rang de l'année xx : (1 ; 150)(1\,;\,150), (2 ; 165)(2\,;\,165), (3 ; 182)(3\,;\,182), (4 ; 196)(4\,;\,196), (5 ; 212)(5\,;\,212). La calculatrice donne la droite de régression y=15,5x+134,5y = 15{,}5x + 134{,}5 (coefficients arrondis au dixième). a. Calculer les coordonnées du point moyen GG et vérifier que la droite passe par GG. b. Estimer le chiffre d'affaires de la 4e4^\text{e} année et demie (x=4,5x = 4{,}5). c. Estimer le chiffre d'affaires de la 8e8^\text{e} année. d. Le dirigeant en déduit qu'à la 20e20^\text{e} année, le chiffre d'affaires dépassera 440440 k€. Que penser de cette affirmation ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour le point moyen, calcule séparément xˉ\bar{x} (moyenne des rangs) et yˉ\bar{y} (moyenne des chiffres d'affaires), en divisant chaque fois par 55. Pour vérifier que la droite passe par GG, remplace xx par xˉ\bar{x} dans l'équation et compare à yˉ\bar{y}.
  2. Pour estimer un chiffre d'affaires, remplace xx par la valeur demandée dans y=15,5x+134,5y = 15{,}5x + 134{,}5. Regarde ensuite si cette valeur de xx est à l'intérieur de la plage observée (11 à 55) : si oui c'est une interpolation, sinon une extrapolation.
  3. À la question d, calcule d'abord yy pour x=20x = 20 avec la droite, puis demande-toi si une tendance mesurée sur 55 ans peut vraiment se prolonger telle quelle pendant 1515 années de plus : un marché peut se saturer, la croissance ralentir.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Question a : point moyen et vérification

    Il y a n=5n = 5 couples. On calcule : xˉ=1+2+3+4+55=155=3\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3 et yˉ=150+165+182+196+2125=9055=181.\bar{y} = \dfrac{150 + 165 + 182 + 196 + 212}{5} = \dfrac{905}{5} = 181. Donc G(3 ; 181).G(3\,;\,181). Vérification : pour x=3x = 3, y=15,5×3+134,5=46,5+134,5=181=yˉy = 15{,}5 \times 3 + 134{,}5 = 46{,}5 + 134{,}5 = 181 = \bar{y} : la droite passe bien par GG.

  2. 2. Question b : interpoler pour $x = 4{,}5$

    La valeur x=4,5x = 4{,}5 est comprise entre 11 et 55 : c'est une interpolation. On remplace xx par 4,54{,}5 : y=15,5×4,5+134,5=69,75+134,5=204,25.y = 15{,}5 \times 4{,}5 + 134{,}5 = 69{,}75 + 134{,}5 = 204{,}25. Le chiffre d'affaires estimé est donc d'environ 204,25204{,}25 milliers d'euros.

  3. 3. Question c : extrapoler pour x = 8

    La valeur x=8x = 8 est en dehors de la plage observée (11 à 55) : c'est une extrapolation. On remplace xx par 88 : y=15,5×8+134,5=124+134,5=258,5.y = 15{,}5 \times 8 + 134{,}5 = 124 + 134{,}5 = 258{,}5. Le chiffre d'affaires estimé est d'environ 258,5258{,}5 milliers d'euros, mais cette estimation est moins fiable car on sort de la plage des données.

  4. 4. Question d : extrapolation à 20 ans

    On calcule yy pour x=20x = 20 : y=15,5×20+134,5=310+134,5=444,5.y = 15{,}5 \times 20 + 134{,}5 = 310 + 134{,}5 = 444{,}5. La droite prévoit en effet 444,5>440444{,}5 > 440 : numériquement, l'affirmation « colle » à la droite. Mais x=20x = 20 est très loin de la plage observée (11 à 55 ans) : c'est une extrapolation lointaine.

  5. 5. Conclure en nuançant

    Point moyen G(3 ; 181)G(3\,;\,181) (la droite passe par GG) ; pour x=4,5x = 4{,}5, y≈204,25y \approx 204{,}25 k€ (interpolation fiable) ; pour x=8x = 8, y≈258,5y \approx 258{,}5 k€ (extrapolation). Quant à l'affirmation du dirigeant : selon la droite, y=444,5y = 444{,}5 k€ à la 20e20^\text{e} année, donc supérieur à 440440 k€. Mais cette prévision repose sur une tendance mesurée seulement sur 55 ans, prolongée sur 1515 années supplémentaires : rien ne garantit que la croissance reste linéaire aussi longtemps (saturation du marché, concurrence, crise...). L'affirmation n'est donc qu'un ordre de grandeur, à considérer avec une grande prudence : on ne peut pas l'annoncer comme une certitude.
Réponse finale
G(3 ; 181)  ;  y(4,5)=15,5×4,5+134,5=204,25  ;  y(8)=258,5  ;  y(20)=444,5>440 mais extrapolation lointaine peu fiableG(3\,;\,181) \;;\; y(4{,}5) = 15{,}5 \times 4{,}5 + 134{,}5 = 204{,}25 \;;\; y(8) = 258{,}5 \;;\; y(20) = 444{,}5 > 440 \text{ mais extrapolation lointaine peu fiable}
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