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Dénombrer des mains de 5 cartes (problème)

Énoncé

On dispose d'un jeu de 3232 cartes. Une main est un ensemble de 55 cartes : l'ordre dans lequel on reçoit les cartes n'a pas d'importance.

1. Combien de mains de 55 cartes différentes peut-on former ?
2. Le jeu contient 44 rois. Combien de ces mains contiennent exactement 22 rois ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Modéliser une main

    Une main est un choix de 55 cartes parmi 3232, sans ordre : c'est une combinaison. Le nombre total de mains est donc (325)\dbinom{32}{5}.

  2. 2. Calculer le nombre total de mains

    On garde 55 facteurs décroissants à partir de 3232 au numérateur et 5!5! au dénominateur : (325)=32×31×30×29×285!.\dbinom{32}{5} = \dfrac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5!}. Le numérateur vaut 32×31×30×29×28=24 165 12032 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 = 24\,165\,120 et 5!=1205! = 120, donc (325)=24 165 120120=201 376.\dbinom{32}{5} = \dfrac{24\,165\,120}{120} = 201\,376.

  3. 3. Compter les mains à exactement 2 rois (principe multiplicatif)

    Une telle main se construit en deux choix indépendants : choisir 22 rois parmi les 44, puis choisir les 33 autres cartes parmi les 32−4=2832 - 4 = 28 cartes qui ne sont pas des rois. On multiplie : (42)×(283).\dbinom{4}{2} \times \dbinom{28}{3}. Or (42)=4×32=6\dbinom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 et (283)=28×27×266=19 6566=3 276.\dbinom{28}{3} = \dfrac{28 \times 27 \times 26}{6} = \dfrac{19\,656}{6} = 3\,276.

  4. 4. Conclure

    Le nombre de mains contenant exactement 22 rois est donc (42)×(283)=6×3 276=19 656.\dbinom{4}{2} \times \dbinom{28}{3} = 6 \times 3\,276 = 19\,656.

    En résumé : 201 376\mathbf{201\,376} mains au total, dont 19 656\mathbf{19\,656} contiennent exactement 22 rois.
Réponse finale
(325)=201 376;(42)×(283)=6×3 276=19 656\dbinom{32}{5} = 201\,376 \quad ; \quad \dbinom{4}{2} \times \dbinom{28}{3} = 6 \times 3\,276 = 19\,656
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