Nombre de solutions à l'aide du tableau de variations

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Ce trinôme s'annule en $-1$ et $1$ : $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\,-1[$, $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;\,1[$, puis $f'(x) > 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$.

$f$ admet un maximum local en $-1$ : $f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = 2$, et un minimum local en $1$ : $f(1) = 1 - 3 = -2$. Par ailleurs $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Le tableau de variations donne : $f$ croît de $-\infty$ à $2$ sur $]-\infty\,;\,-1]$, décroît de $2$ à $-2$ sur $[-1\,;\,1]$, puis croît de $-2$ à $+\infty$ sur $[1\,;\,+\infty[$. On compare la valeur $k = 1$ aux extremums $2$ et $-2$.

Comme $-2 < 1 < 2$, la droite d'équation $y = 1$ coupe la courbe sur chacun des trois intervalles de monotonie. Sur chacun, $f$ est continue et strictement monotone, donc par le corollaire du TVI l'équation $f(x) = 1$ y admet exactement une solution : cela fait $1 + 1 + 1 = 3$ solutions.

L'équation $f(x) = 1$ admet exactement trois solutions sur $\mathbb{R}$. (On remarque que pour $k > 2$ ou $k < -2$ il n'y en aurait qu'une, et pour $k = 2$ ou $k = -2$ exactement deux.)