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Terminale Approfondissement gratuit

Étudier les variations de x − ln(x)

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ par f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x. Étudier ses variations et en déduire son minimum.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la dérivée

    ff est dérivable sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[ et f′(x)=1−1x=x−1x.f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}.

  2. 2. Étudier le signe de f′

    Sur ]0 ; +∞[\left]0\,;\,+\infty\right[, x>0x > 0 donc f′(x)f'(x) est du signe de x−1x - 1. Ainsi f′(x)<0f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[\left]0\,;\,1\right[ et f′(x)>0f'(x) > 0 sur ]1 ; +∞[\left]1\,;\,+\infty\right[.

  3. 3. Conclure

    ff est décroissante puis croissante : elle admet un minimum en x=1x = 1, qui vaut f(1)=1−ln⁡1=1.f(1) = 1 - \ln 1 = 1.
Réponse finale
min⁡ ]0;+∞[f=f(1)=1\min_{\,]0;+\infty[} f = f(1) = 1
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