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Terminale Approfondissement gratuit

Démontrer qu'un triangle de l'espace est rectangle

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(1 ; 0 ; 1)A(1\,;\,0\,;\,1), B(3 ; 1 ; 3)B(3\,;\,1\,;\,3) et C(2 ; 2 ; −1)C(2\,;\,2\,;\,-1). Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs

    AB⃗ (3−1 ; 1−0 ; 3−1)=(2 ; 1 ; 2)\vec{AB}\,(3 - 1\,;\,1 - 0\,;\,3 - 1) = (2\,;\,1\,;\,2) et AC⃗ (2−1 ; 2−0 ; −1−1)=(1 ; 2 ; −2).\vec{AC}\,(2 - 1\,;\,2 - 0\,;\,-1 - 1) = (1\,;\,2\,;\,-2).

  2. 2. Calculer le produit scalaire

    AB⃗⋅AC⃗=2×1+1×2+2×(−2)=2+2−4=0.\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times (-2) = 2 + 2 - 4 = 0.

  3. 3. Conclure

    Le produit scalaire est nul, donc AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont orthogonaux : le triangle ABCABC est rectangle en AA.
Réponse finale
AB⃗⋅AC⃗=0 ⇒ ABC rectangle en A\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \ \Rightarrow\ ABC \text{ rectangle en } A
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