Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale Approfondissement gratuit

Valeur moyenne d'une fonction

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur [0 ; 3][0\,;\,3] par f(x)=x2f(x) = x^2. Déterminer la valeur moyenne μ\mu de ff sur l'intervalle [0 ; 3][0\,;\,3], puis interpréter ce résultat géométriquement.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Rappeler la formule

    La valeur moyenne de ff sur [a ; b][a\,;\,b] est μ=1b−a∫abf(x) dx.\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. Ici a=0a = 0 et b=3b = 3, donc b−a=3.b - a = 3.

  2. 2. Calculer l'intégrale

    Une primitive de x2x^2 est x33\dfrac{x^3}{3}, d'où ∫03x2 dx=[ x33 ]03=333−033=273=9.\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\,\dfrac{x^3}{3}\,\right]_0^3 = \dfrac{3^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{27}{3} = 9.

  3. 3. Diviser par la longueur de l'intervalle

    μ=13×∫03x2 dx=13×9=3.\mu = \dfrac{1}{3} \times \displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3.

  4. 4. Interpréter

    La valeur moyenne vaut μ=3\mu = 3 : le rectangle de base [0 ; 3][0\,;\,3] et de hauteur 33 a la même aire (3×3=93 \times 3 = 9 u.a.) que le domaine situé sous la courbe de ff sur [0 ; 3][0\,;\,3].
Réponse finale
μ=13∫03x2 dx=3\mu = \dfrac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = 3
Signaler une erreur

Ta progression

Chapitre

Le calcul intégral ← Retour au cours

À suivre