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Problème de répartition en paquets identiques (type brevet)

Énoncé

Pour une kermesse, un professeur dispose de 2424 stylos rouges et 3636 stylos bleus. Il veut préparer des lots identiques en utilisant tous les stylos, chaque lot contenant le même nombre de stylos rouges et le même nombre de stylos bleus. 1. Quel est le nombre maximal de lots qu'il peut réaliser ? 2. Quelle est alors la composition de chaque lot ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Traduire le problème

    Le nombre de lots doit diviser à la fois 2424 (pour répartir tous les rouges) et 3636 (pour répartir tous les bleus) : c'est donc un diviseur commun à 2424 et 3636. Pour en faire le maximum, on cherche le plus grand : le nombre de lots est le PGCD(24 ; 36)\text{PGCD}(24\,;\,36).

  2. 2. Calculer le PGCD par les facteurs premiers

    24=23×324 = 2^3 \times 3 et 36=22×3236 = 2^2 \times 3^2. Les facteurs communs sont 22 (plus petit exposant 22) et 33 (plus petit exposant 11) : PGCD(24 ; 36)=22×3=12.\text{PGCD}(24\,;\,36) = 2^2 \times 3 = 12.

  3. 3. Nombre maximal de lots

    Le professeur peut donc réaliser au maximum 1212 lots identiques.

  4. 4. Composition de chaque lot

    On répartit les stylos dans les 1212 lots : 2412=2\frac{24}{12} = 2 stylos rouges par lot et 3612=3\frac{36}{12} = 3 stylos bleus par lot. Chaque lot contient donc 22 rouges et 33 bleus, soit 55 stylos.
Réponse finale
PGCD(24 ; 36)=12: 12 lots, chacun avec 2 stylos rouges et 3 stylos bleus.\text{PGCD}(24\,;\,36) = 12 : \text{ 12 lots, chacun avec 2 stylos rouges et 3 stylos bleus.}
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