Première pro · Chapitre 6

Dérivée et variations

Cours de Première pro : nombre dérivé et pente de la tangente, règles de dérivation, signe de la dérivée et tableau de variations, fonction inverse. Bénéfice, coût, exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première professionnelle - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Fonctions affines et carré

Dans un atelier, une boutique ou un food-truck, une question revient sans cesse : pour quelle quantité produite ou vendue le bénéfice est-il le plus grand ? Pour quel volume de commande le coût unitaire est-il le plus bas ? La dérivée est l’outil qui répond à ces questions : elle mesure comment une grandeur varie, repère les moments où ça monte ou ça descend, et pointe précisément les maximums et les minimums.

À la fin de ce chapitre, je sais…

lire graphiquement le nombre dérivé en un point (la pente de la tangente) ;
dériver une fonction simple grâce aux règles de dérivation ;
déduire du signe de la dérivée le sens de variation et construire un tableau de variations ;
trouver une quantité qui maximise un bénéfice ou minimise un coût ;
dériver et étudier la fonction inverse.

À quoi ça sert vraiment ?

Imagine que tu gères un stand de crêpes. Tant que chaque crêpe vendue rapporte plus qu’elle ne coûte, ton bénéfice monte : la dérivée est positive. À partir d’un certain nombre, les frais (gaz, ingrédients, temps d’attente, invendus) prennent le dessus et le bénéfice redescend : la dérivée devient négative. Le sommet, l’instant pile où ça arrête de monter pour commencer à descendre, c’est l’endroit où la dérivée s’annule. C’est exactement la production idéale. La dérivée, c’est ton tableau de bord.

1. Le nombre dérivé : la pente de la tangente

Tangente et nombre dérivé

La tangente à une courbe en un point $A$ est la droite qui « touche » la courbe en ce point et épouse sa direction (sa pente locale).

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est le coefficient directeur (la pente) de cette tangente au point d’abscisse $a$ .

Lire un nombre dérivé sur un graphique

La tangente est une droite : son coefficient directeur se lit comme celui de n’importe quelle droite.

Repérer la tangente tracée au point d’abscisse $a$ .
Choisir sur cette tangente deux points dont on lit facilement les coordonnées.
Calculer le coefficient directeur : $f'(a) = \frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$

Exemple : si la tangente passe par $A(2\,;\,5)$ et $B(4\,;\,11)$ , alors $f'(2) = \frac{11 - 5}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$ .

Le signe de la pente se voit à l'œil

Tangente qui monte de gauche à droite $\Rightarrow$ nombre dérivé positif.
Tangente qui descend de gauche à droite $\Rightarrow$ nombre dérivé négatif.
Tangente horizontale $\Rightarrow$ nombre dérivé nul ( $f'(a) = 0$ ) : c’est souvent un sommet (maximum ou minimum).

2. La fonction dérivée et les règles de dérivation

Fonction dérivée

Quand on sait calculer le nombre dérivé en n’importe quel point $x$ , on obtient une nouvelle fonction : la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ . À chaque $x$ , elle associe la pente de la tangente, c’est-à-dire $f'(x)$ .

Les dérivées des fonctions de référence

Pour tout nombre réel $x$ (et $x \neq 0$ pour l’inverse), avec $k$ un nombre constant :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$

Les règles de dérivation

On combine les dérivées de référence avec deux règles très simples. Si $u$ et $v$ sont deux fonctions et $k$ un nombre constant :

Multiplier par un nombre : la dérivée de $k \times u$ est $k \times u'$ .
Additionner : la dérivée de $u + v$ est $u' + v'$ .

Autrement dit, on dérive terme par terme, et les coefficients constants restent devant.

Dériver un polynôme

Pour dériver une expression comme $f(x) = a x^2 + b x + c$ :

Dériver chaque terme séparément.
Le terme $a x^2$ a pour dérivée $a \times 2x = 2ax$ .
Le terme $b x$ a pour dérivée $b \times 1 = b$ .
Le terme constant $c$ a pour dérivée $0$ .

On obtient $f'(x) = 2ax + b$ .

Exemple : pour $f(x) = 4x^2 - 7x + 9$ , on a $f'(x) = 4 \times 2x - 7 = 8x - 7$ .

Le piège du coefficient et de la constante

FAUX : « la dérivée de $5x$ , c’est $5x$ » et « la dérivée de $7x^2$ , c’est $7 \times 2x^2 = 14x^2$ ».

VRAI : la dérivée de $5x$ est $5$ (le coefficient reste, le $x$ disparaît car la dérivée de $x$ vaut $1$ ). Pour $7x^2$ , on ne touche pas à l’exposant du résultat : la dérivée de $x^2$ est $2x$ , donc la dérivée de $7x^2$ est $7 \times 2x = 14x$ (et non $14x^2$ ). On dérive d’abord la puissance, puis on garde le coefficient devant.

3. Signe de la dérivée et variations

Le signe de la dérivée donne le sens de variation

Sur un intervalle :

si $f'(x) > 0$ , alors $f$ est croissante ( $\nearrow$ ) ;
si $f'(x) < 0$ , alors $f$ est décroissante ( $\searrow$ ) ;
si $f'(x) = 0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un maximum (si elle passe de $\nearrow$ à $\searrow$ ) ou un minimum (si elle passe de $\searrow$ à $\nearrow$ ).

Construire un tableau de variations

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver la (ou les) valeur(s) où la pente s’annule.
Étudier le signe de $f'(x)$ de part et d’autre de cette valeur.
En déduire les variations dans un tableau : flèche qui monte quand $f'(x) > 0$ , flèche qui descend quand $f'(x) < 0$ .
Calculer la valeur de $f$ au point où la dérivée s’annule (c’est le maximum ou le minimum).

Le tableau résume tout : la ligne du signe de $f'(x)$ au-dessus, la ligne des variations de $f$ en dessous.

Un exemple complet

Soit $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $[0\,;\,8]$ .

Dérivée : $f'(x) = -2x + 6$ .
On résout $f'(x) = 0$ : $-2x + 6 = 0$ , donc $x = 3$ .
Signe : pour $x < 3$ , $f'(x) > 0$ (croissante) ; pour $x > 3$ , $f'(x) < 0$ (décroissante).
La fonction passe de croissante à décroissante en $x = 3$ : elle y atteint un maximum, égal à $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$ .

$x$	$0$		$3$		$8$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$
variations de $f$		$\nearrow$	$4$	$\searrow$

4. La fonction inverse

La fonction inverse

La fonction inverse est la fonction qui, à un nombre $x$ non nul, associe son inverse $\dfrac{1}{x}$ . Elle est définie pour $x \neq 0$ .

On la rencontre dès qu’on calcule un coût unitaire (un coût total réparti sur un nombre de pièces) : le terme « frais fixes répartis sur la quantité » s’écrit avec un $\dfrac{1}{x}$ .

Dérivée de la fonction inverse

Pour tout $x \neq 0$ : $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}.$

Comme $x^2 > 0$ , cette dérivée est toujours négative : la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ comme sur $]-\infty\,;\,0[$ .

Le coût moyen et la fonction inverse

Une petite production a un coût total $C(q) = q^2 + 20q + 900$ (en €), pour $q$ pièces. Le coût moyen par pièce est : $C_M(q) = \frac{C(q)}{q} = q + 20 + \frac{900}{q}.$

On reconnaît un terme en $q$ , une constante, et un terme inverse $\dfrac{900}{q}$ (les frais fixes répartis sur $q$ pièces). En dérivant : $C_M'(q) = 1 - \frac{900}{q^2}.$

Cette dérivée s’annule pour $q^2 = 900$ , soit $q = 30$ pièces : c’est la quantité qui minimise le coût moyen.

Reconnaître où ça s'annule

Pour trouver un maximum de bénéfice ou un minimum de coût, la question est toujours la même : où la dérivée s’annule-t-elle en changeant de signe ? On résout donc $f'(x) = 0$ , puis on vérifie le changement de signe pour conclure « maximum » ou « minimum ». C’est le réflexe central de tout le chapitre.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un nombre dérivé par le calcul

Une application mobile stocke des données dans le cloud. La place occupée, en gigaoctets (Go), au bout de $x$ mois d'utilisation est modélisée par la fonction $C(x) = 0{,}5x^2 + 2x + 12$ , pour $0 \le x \le 24$ . On veut connaître la vitesse à laquelle le stockage augmente au bout de $10$ mois, c'est-à-dire le nombre dérivé $C'(10)$ . Calculer d'abord la fonction dérivée $C'(x)$ , puis en déduire $C'(10)$ .

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Calculer une dérivée terme par terme

Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$ . Calculer sa fonction dérivée $f'(x)$ .

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Lire le nombre dérivé d'une courbe de coût

Dans un atelier, la courbe représente le coût de production $C$ (en euros) en fonction du nombre $x$ d'objets fabriqués. On a tracé la tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 20$ . Cette tangente passe par les points $A(20\,;\,300)$ et $B(40\,;\,500)$ . Déterminer le nombre dérivé $C'(20)$ et interpréter ce résultat.

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La production qui maximise le bénéfice

Un food-truck vend des burgers maison. Son bénéfice quotidien, en euros, pour $x$ burgers vendus est modélisé par $B(x) = -2x^2 + 120x - 800$ , pour $0 \le x \le 60$ . Déterminer le nombre de burgers à vendre pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

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La taille de commande qui minimise le coût moyen

Un atelier floque des tee-shirts pour des associations. Pour une commande de $x$ tee-shirts (avec $5 \le x \le 90$ ), le coût moyen d'un tee-shirt, en euros, est modélisé par $g(x) = 0{,}02x^2 - 2x + 60$ . Déterminer le nombre de tee-shirts qui rend ce coût moyen minimal, puis calculer ce coût moyen minimal.

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Tableau de variations d'un bénéfice

Une boutique de sneakers estime que son bénéfice quotidien, en euros, pour $x$ paires vendues (avec $0 \le x \le 80$ ) est donné par $B(x) = -x^2 + 80x - 700$ . Étudier le signe de la dérivée $B'(x)$ , puis dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;\,80]$ .

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Bonus

Le coût moyen unitaire le plus bas

Un artisan fabrique des coques de smartphone personnalisées. Pour $q$ coques produites (avec $q > 0$ ), le coût total de production, en euros, est $C(q) = q^2 + 20q + 900$ . On appelle coût moyen unitaire la fonction $C_M(q) = \frac{C(q)}{q}$ , c'est-à-dire le coût d'une coque en moyenne. Déterminer la quantité $q$ qui rend ce coût moyen minimal, puis calculer ce coût moyen minimal.

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Le prix d'abonnement qui maximise le revenu

Un créateur propose un abonnement mensuel à sa plateforme de streaming. Une étude estime que si le prix de l'abonnement est de $p$ euros par mois (avec $0 \le p \le 30$ ), alors le nombre d'abonnés sera de $(600 - 20p)$ . Le revenu mensuel, en euros, est le produit du prix par le nombre d'abonnés : $R(p) = p \times (600 - 20p)$ . Déterminer le prix $p$ qui rend le revenu maximal, le nombre d'abonnés correspondant, puis le revenu maximal.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le nombre dérivé d'une fonction en un point ?

Le nombre dérivé d'une fonction en un point est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe en ce point. On le note f prime de a. Graphiquement, on le lit en repérant deux points de la tangente et en calculant le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale entre ces deux points.

Comment trouver le tableau de variations à partir de la dérivée ?

On étudie le signe de la fonction dérivée. Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante ; là où la dérivée est négative, la fonction est décroissante ; là où la dérivée s'annule en changeant de signe, la fonction admet un maximum ou un minimum. On résume tout cela dans un tableau de variations.

Comment dériver la fonction inverse ?

La fonction inverse associe à un nombre non nul son inverse, c'est-à-dire un divisé par ce nombre. Sa dérivée est moins un divisé par le carré de ce nombre. Comme un carré est toujours positif, cette dérivée est toujours négative : la fonction inverse est donc décroissante sur les nombres strictement positifs comme sur les nombres strictement négatifs.