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Le coût moyen unitaire le plus bas
Énoncé
Un artisan fabrique des coques de smartphone personnalisées. Pour coques produites (avec ), le coût total de production, en euros, est . On appelle coût moyen unitaire la fonction , c'est-à-dire le coût d'une coque en moyenne. Déterminer la quantité qui rend ce coût moyen minimal, puis calculer ce coût moyen minimal.
Besoin d'un coup de pouce ?
- Commence par écrire en séparant la fraction terme par terme : chaque morceau du numérateur se divise par .
- Tu dois obtenir un terme en , une constante, et un terme inverse en . Rappelle-toi que la dérivée de est , donc la dérivée de est .
- Résous , soit : cela donne . Comme , garde la solution positive.
Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.
Voir le corrigé détaillé
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1. Exprimer le coût moyen
Le coût moyen est le coût total divisé par le nombre de coques : On divise chaque terme du numérateur par : -
2. Repérer la fonction inverse
On reconnaît trois morceaux : un terme , une constante , et un terme inverse (les frais fixes de € répartis sur coques). C'est ce dernier terme qui fait baisser le coût moyen quand on produit plus. -
3. Dériver le coût moyen
On dérive terme par terme. La dérivée de est , celle de la constante est , et celle de est Donc -
4. Résoudre la dérivée égale zéro
On cherche où la dérivée s'annule : , donc , ce qui donne Comme , on prend la racine positive : coques. -
5. Vérifier que c'est un minimum
On teste le signe de autour de . Pour : (décroissante). Pour : (croissante). La fonction passe de décroissante à croissante en : c'est bien un minimum. -
6. Calculer le coût moyen minimal
On remplace par : €. Le coût moyen est minimal pour 30 coques produites : chaque coque revient alors à 80 € en moyenne.
Réponse finale
Ta progression