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Comparer deux jeux de données avec le coefficient de détermination

Énoncé

Une responsable d'enseigne veut savoir laquelle de deux dépenses justifie le mieux un ajustement affine pour prévoir le chiffre d'affaires yy (en milliers d'euros). Elle teste deux jeux de données portant chacun sur 55 relevés.

Jeu A - budget publicité xx (en milliers d'euros) :
xx1122334455
yy20203232383852525858

Jeu B - nombre de publications sur les réseaux xx :
xx1122334455
yy35352828525240406060

Pour chaque jeu, le tableur affiche la droite d'ajustement et son coefficient de détermination :
- Jeu A : y=9,6 x+11,2y = 9{,}6 \, x + 11{,}2 avec R2≈0,98R^2 \approx 0{,}98 ;
- Jeu B : y=6,2 x+24,4y = 6{,}2 \, x + 24{,}4 avec R2≈0,58R^2 \approx 0{,}58.

1. Rappeler ce que mesure le coefficient de détermination R2R^2 et entre quelles valeurs il se situe.
2. Pour chaque jeu, dire si l'ajustement affine est pertinent.
3. Conclure : lequel des deux jeux justifie le mieux un ajustement affine ? La responsable peut-elle se fier à une prévision faite à partir du jeu B ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le coefficient de détermination R2R^2 est toujours compris entre 00 et 11 : plus il est proche de 11, mieux les points sont alignés sur la droite.
  2. Compare les deux valeurs : 0,980{,}98 et 0,580{,}58. Laquelle est la plus proche de 11 ? C'est ce jeu-là dont le nuage est le mieux résumé par une droite.
  3. Pour la prévision du jeu B : un R2R^2 proche de 0,580{,}58 signale un nuage dispersé. Demande-toi si une droite tracée sur des points en désordre donne une estimation digne de confiance.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Rappeler le rôle du coefficient de détermination

    Le coefficient de détermination R2R^2 mesure à quel point les points du nuage sont proches de la droite d'ajustement. Il est toujours compris entre 00 et 11 : 0≤R2≤1.0 \leq R^2 \leq 1. Plus R2R^2 est proche de 11, mieux les points sont alignés et plus l'ajustement affine est pertinent ; plus il est proche de 00, plus les points sont dispersés et moins une droite convient.

  2. 2. Examiner le jeu A

    Pour le jeu A (budget publicité), le tableur donne R2≈0,98.R^2 \approx 0{,}98. Cette valeur est très proche de 11 : les points du nuage sont bien alignés le long de la droite y=9,6 x+11,2.y = 9{,}6 \, x + 11{,}2. On en déduit que l'ajustement affine est pertinent pour le jeu A : la droite résume fidèlement les données.

  3. 3. Examiner le jeu B

    Pour le jeu B (nombre de publications), le tableur donne R2≈0,58.R^2 \approx 0{,}58. Cette valeur est éloignée de 11 (à peine au dessus de la moitié) : les points sont dispersés autour de la droite y=6,2 x+24,4.y = 6{,}2 \, x + 24{,}4. On en déduit que l'ajustement affine est peu pertinent pour le jeu B : une droite résume mal ces données.

  4. 4. Comparer et conclure

    On compare les deux coefficients : 0,98>0,58.0{,}98 > 0{,}58. Comme le jeu A a le R2R^2 le plus proche de 11, c'est lui dont le nuage est le mieux résumé par une droite. Le jeu A justifie donc bien mieux un ajustement affine que le jeu B. Pour le jeu B, dont le nuage est dispersé, une prévision faite avec la droite serait peu fiable : la responsable ne peut pas raisonnablement s'y fier.
Réponse finale
0≤R2≤1.Jeu A:R2≈0,98 (ajustement pertinent) ; Jeu B:R2≈0,58 (peu pertinent).Le jeu A justifie le mieux un ajustement affine ; une preˊvision issue du jeu B n’est pas fiable.0 \leq R^2 \leq 1. \quad \text{Jeu A} : R^2 \approx 0{,}98 \ (\text{ajustement pertinent}) \ ; \ \text{Jeu B} : R^2 \approx 0{,}58 \ (\text{peu pertinent}). \quad \text{Le jeu A justifie le mieux un ajustement affine ; une prévision issue du jeu B n'est pas fiable.}
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