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Synthèse : analyser complètement un dépistage

Énoncé

On dépiste une maladie MM dans une population où P(M)=0,10.P(M) = 0{,}10. Le test TT a une sensibilité PM(T)=0,85P_M(T) = 0{,}85 (positif chez les malades) et une spécificité PM‾(T‾)=0,80P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}80 (négatif chez les non-malades). a) Construire l'arbre et calculer les probabilités des quatre chemins, puis vérifier que leur somme vaut 1.1. b) Calculer P(T)P(T) puis PT(M)P_T(M), et interpréter. c) Compléter un tableau croisé pour une cohorte de 1 0001\,000 personnes. d) Les événements MM et TT sont-ils indépendants ?
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  1. Branches contraires : P(M‾)=1−0,10P(\overline{M}) = 1 - 0{,}10, PM(T‾)=1−0,85P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}85, et PM‾(T)=1−0,80.P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}80. Chaque chemin est un produit de deux probabilités.
  2. Probabilités totales : P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T), puis renverse avec PT(M)=P(M∩T)P(T).P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}.
  3. Pour le tableau, multiplie chaque probabilité de chemin par 1 000.1\,000. Pour l'indépendance, compare P(M∩T)P(M \cap T) au produit P(M)×P(T).P(M) \times P(T).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Les quatre chemins de l'arbre

    On détermine les branches contraires : P(M‾)=1−0,10=0,90P(\overline{M}) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90, PM(T‾)=1−0,85=0,15P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15 et PM‾(T)=1−0,80=0,20.P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20. On multiplie le long de chaque chemin : P(M∩T)=0,10×0,85=0,085P(M \cap T) = 0{,}10 \times 0{,}85 = 0{,}085 ; P(M∩T‾)=0,10×0,15=0,015P(M \cap \overline{T}) = 0{,}10 \times 0{,}15 = 0{,}015 ; P(M‾∩T)=0,90×0,20=0,18P(\overline{M} \cap T) = 0{,}90 \times 0{,}20 = 0{,}18 ; P(M‾∩T‾)=0,90×0,80=0,72.P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72. La somme vaut 0,085+0,015+0,18+0,72=10{,}085 + 0{,}015 + 0{,}18 + 0{,}72 = 1, ce qui valide l'arbre.

  2. 2. b) Probabilité totale et conditionnement inversé

    Un test positif vient d'un malade ou d'un non-malade : P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=0,085+0,18=0,265.P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}085 + 0{,}18 = 0{,}265. On en déduit PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0850,265=1753≈0,32.P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}085}{0{,}265} = \dfrac{17}{53} \approx 0{,}32. Une personne au test positif n'a donc qu'environ 32 %32\,\% de risque d'être réellement malade : la spécificité modeste (80 %80\,\%) génère beaucoup de faux positifs.

  3. 3. c) Tableau croisé pour 1 000 personnes

    On multiplie chaque probabilité de chemin par 1 000.1\,000. Malades au test positif : 0,085×1 000=85.0{,}085 \times 1\,000 = 85. Malades au test négatif : 0,015×1 000=15.0{,}015 \times 1\,000 = 15. Non-malades au test positif : 0,18×1 000=180.0{,}18 \times 1\,000 = 180. Non-malades au test négatif : 0,72×1 000=720.0{,}72 \times 1\,000 = 720. Total des malades : 85+15=10085 + 15 = 100 ; total des tests positifs : 85+180=265.85 + 180 = 265. On retrouve PT(M)=85265=1753≈0,32.P_T(M) = \dfrac{85}{265} = \dfrac{17}{53} \approx 0{,}32.

  4. 4. d) Test d'indépendance

    On compare P(M∩T)P(M \cap T) au produit P(M)×P(T)=0,10×0,265=0,0265.P(M) \times P(T) = 0{,}10 \times 0{,}265 = 0{,}0265. Or P(M∩T)=0,085≠0,0265.P(M \cap T) = 0{,}085 \neq 0{,}0265. Les événements MM et TT ne sont pas indépendants : ils sont liés, ce qui est attendu et même souhaitable, car un test de dépistage utile doit dépendre de l'état de santé réel du patient.
Réponse finale
Chemins 0,085 ; 0,015 ; 0,18 ; 0,72 (somme 1);P(T)=0,265;PT(M)=1753≈0,32;M et T non indeˊpendants\text{Chemins } 0{,}085 \ ;\ 0{,}015 \ ;\ 0{,}18 \ ;\ 0{,}72 \text{ (somme } 1) \quad ; \quad P(T) = 0{,}265 \quad ; \quad P_T(M) = \dfrac{17}{53} \approx 0{,}32 \quad ; \quad M \text{ et } T \text{ non indépendants}
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