Synthèse : analyser complètement un dépistage

On dépiste une maladie $M$ dans une population où $P(M) = 0{,}10.$ Le test $T$ a une sensibilité $P_M(T) = 0{,}85$ (positif chez les malades) et une spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}80$ (négatif chez les non-malades). a) Construire l'arbre et calculer les probabilités des quatre chemins, puis vérifier que leur somme vaut $1.$ b) Calculer $P(T)$ puis $P_T(M)$, et interpréter. c) Compléter un tableau croisé pour une cohorte de $1\,000$ personnes. d) Les événements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ?