Première ST2S · Chapitre 6

Probabilités conditionnelles et indépendance

Cours de Première ST2S sur les probabilités conditionnelles et l'indépendance : arbre pondéré, tableau croisé, probabilités totales, appliqués au dépistage médical, avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première ST2S - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En santé-social, on raisonne sans cesse « sachant que » : la probabilité d’être malade **sachant qu’**on présente un facteur de risque, la probabilité qu’un test soit positif **sachant qu’**on est réellement malade. Ce sont des probabilités conditionnelles. Pour les manipuler, on dispose de trois outils complémentaires : l’arbre pondéré, le tableau croisé et la formule des probabilités totales. On termine avec l’indépendance, qui dit si deux événements sont liés ou non.

Ce que tu sauras faire

Je comprends et je calcule une probabilité conditionnelle $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Je construis et je lis un arbre pondéré (produit sur une branche, somme des branches égale à $1$ ).
Je passe d’un tableau croisé (malades / non-malades $\times$ test positif / négatif) à des probabilités.
J’utilise la formule des probabilités totales pour calculer $P(B)$ .
Je sais tester l’indépendance de deux événements avec $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Je comprends pourquoi un test positif ne signifie pas forcément « malade ».

À quoi ça sert ?

Un test de dépistage n’est jamais parfait : il peut être positif chez une personne saine (faux positif) ou négatif chez une personne malade (faux négatif). Pour interpréter un résultat, on a besoin des probabilités conditionnelles : « quelle est la probabilité d’être vraiment malade sachant que mon test est positif ? ». La réponse dépend fortement de la proportion de malades dans la population. Comprendre ce calcul, c’est éviter une erreur d’interprétation lourde de conséquences pour un patient. La même démarche sert à étudier un facteur de risque : la maladie est-elle plus fréquente chez les personnes exposées ?

La probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ , est la probabilité que $B$ se réalise lorsqu’on sait déjà que $A$ est réalisé. Elle se calcule par : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ où $A \cap B$ (lire « $A$ inter $B$ ») est l’événement « $A$ et $B$ sont réalisés ».

Probabilité d'une intersection

En multipliant les deux membres par $P(A)$ , on obtient une formule très utile pour les arbres : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ La probabilité que deux événements se produisent ensemble est le produit de la probabilité du premier par la probabilité conditionnelle du second sachant le premier.

Se placer dans une sous-population

Dans un groupe de patients, $P(M) = 0{,}30$ sont atteints d’une affection $M$ , et $P(M \cap F) = 0{,}12$ sont à la fois atteints de $M$ et fumeurs ( $F$ ). La probabilité d’être fumeur **sachant qu’**on est malade est : $P_M(F) = \dfrac{P(M \cap F)}{P(M)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}30} = 0{,}40$ Autrement dit, parmi les malades, $40\,\%$ sont fumeurs. On a « zoomé » sur la sous-population des malades.

L’arbre pondéré

Règles de l'arbre pondéré

Un arbre pondéré organise une expérience en étapes successives. Sur chaque branche, on écrit une probabilité.

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à $1$ .
La probabilité d’un chemin (donc d’une intersection) est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Les branches de deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles ( $P_A(B)$ , $P_A(\overline{B})$ , …).

$\overline{A}$ (lire « $A$ barre ») désigne l’événement contraire de $A$ , et $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .

Un arbre de dépistage

On dépiste une maladie $M$ dans une population où $P(M) = 0{,}02$ (soit $2\,\%$ de malades). On note $T$ l’événement « le test est positif ». Le test a les caractéristiques suivantes :

chez un malade, il est positif dans $95\,\%$ des cas : $P_M(T) = 0{,}95$ ;
chez un non-malade, il est négatif dans $90\,\%$ des cas : $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$ .

On en déduit les branches contraires : $P(\overline{M}) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$ , puis $P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$ et $P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10$ .

1er niveau	2e niveau	Chemin	Probabilité du chemin
$M$ ( $0{,}02$ )	$T$ ( $0{,}95$ )	$M \cap T$	$0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$
$M$ ( $0{,}02$ )	$\overline{T}$ ( $0{,}05$ )	$M \cap \overline{T}$	$0{,}02 \times 0{,}05 = 0{,}001$
$\overline{M}$ ( $0{,}98$ )	$T$ ( $0{,}10$ )	$\overline{M} \cap T$	$0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}098$
$\overline{M}$ ( $0{,}98$ )	$\overline{T}$ ( $0{,}90$ )	$\overline{M} \cap \overline{T}$	$0{,}98 \times 0{,}90 = 0{,}882$

On vérifie que la somme des quatre chemins vaut $0{,}019 + 0{,}001 + 0{,}098 + 0{,}882 = 1$ .

Le tableau croisé

Lire un tableau croisé d'effectifs

Un tableau croisé range une population selon deux critères (par exemple : malade / non-malade en lignes, test positif / négatif en colonnes). Pour obtenir une probabilité :

repérer l’effectif correspondant à la situation ;
diviser par l’effectif total pour une probabilité simple, ou par l’effectif de la ligne (ou colonne) concernée pour une probabilité conditionnelle.

Une probabilité conditionnelle revient à se restreindre à une seule ligne (ou une seule colonne) du tableau.

Du tableau aux probabilités

On a testé $1\,000$ personnes. Les effectifs sont :

	Test positif $T$	Test négatif $\overline{T}$	Total
Malades $M$	$19$	$1$	$20$
Non-malades $\overline{M}$	$98$	$882$	$980$
Total	$117$	$883$	$1\,000$

Probabilité d’être malade : $P(M) = \dfrac{20}{1\,000} = 0{,}02$ .
Probabilité d’avoir un test positif **sachant qu’**on est malade (on reste sur la ligne des malades) : $P_M(T) = \dfrac{19}{20} = 0{,}95$ .
Probabilité d’être malade sachant que le test est positif (on reste sur la colonne des tests positifs) : $P_T(M) = \dfrac{19}{117} \approx 0{,}162$ .

La formule des probabilités totales

Probabilités totales (cas de deux issues)

Lorsqu’une population se partage en deux sous-groupes contraires $A$ et $\overline{A}$ , la probabilité d’un événement $B$ se calcule en additionnant les chemins de l’arbre qui mènent à $B$ : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ On « rassemble » toutes les façons d’obtenir $B$ .

Probabilité qu'un test soit positif

Avec l’arbre de dépistage précédent, un test peut être positif de deux manières : chez un malade ( $M \cap T$ ) ou chez un non-malade ( $\overline{M} \cap T$ ). La formule des probabilités totales donne : $P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117$ Il y a donc $11{,}7\,\%$ de tests positifs dans cette population. On retrouve bien le total de la colonne « test positif » du tableau : $\dfrac{117}{1\,000} = 0{,}117$ .

Renverser le conditionnement (du test à la maladie)

On connaît souvent $P_M(T)$ (fiabilité du test) mais on cherche $P_T(M)$ (être malade sachant le test positif). On enchaîne :

calculer chaque intersection avec l’arbre : $P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T)$ ;
calculer $P(T)$ par les probabilités totales ;
appliquer la définition : $P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}$ .

Sur notre exemple : $P_T(M) = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162$ .

Le piège des tests : pourquoi seulement 16 % ?

Avec un test très fiable ( $95\,\%$ de bons résultats chez les malades), on obtient pourtant $P_T(M) \approx 0{,}162$ : un patient au test positif n’a qu’environ $16\,\%$ de risque d’être réellement malade. La raison : la maladie est rare ( $2\,\%$ ), donc les non-malades sont très nombreux, et même $10\,\%$ de faux positifs parmi eux ( $98$ personnes) écrasent les $19$ vrais positifs. C’est pourquoi un test positif est presque toujours confirmé par un second examen. Plus la maladie est fréquente dans le groupe dépisté, plus $P_T(M)$ augmente.

L’indépendance

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Cela se traduit par l’égalité : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ De façon équivalente (si $P(A) \neq 0$ ) : $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P_A(B) = P(B)$ .

Vérifier si deux événements sont indépendants

Calculer $P(A \cap B)$ (effectif commun divisé par le total, ou produit d’une branche).
Calculer séparément $P(A) \times P(B)$ .
Comparer : si les deux résultats sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils sont liés (par exemple un facteur de risque associé à la maladie).

Un facteur de risque est-il lié à la maladie ?

Sur $2\,000$ personnes, $400$ présentent un facteur de risque $F$ et $300$ sont malades $M$ ; parmi elles, $60$ cumulent $F$ et $M$ .

$P(F) = \dfrac{400}{2\,000} = 0{,}20$ et $P(M) = \dfrac{300}{2\,000} = 0{,}15$ , donc $P(F) \times P(M) = 0{,}20 \times 0{,}15 = 0{,}03$ .
$P(F \cap M) = \dfrac{60}{2\,000} = 0{,}03$ .

Les deux valeurs sont égales : ici $F$ et $M$ sont indépendants. La proportion de malades est la même chez les personnes exposées et non exposées : ce facteur n’apparaît pas comme un facteur de risque dans ces données.

Pièges à éviter

Ne pas confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$

FAUX : « le test est positif dans $95\,\%$ des cas chez les malades, donc un patient au test positif est malade à $95\,\%$ ».

VRAI : $P_M(T) = 0{,}95$ (positif sachant malade) et $P_T(M) \approx 0{,}162$ (malade sachant positif) sont deux probabilités différentes. On ne se place pas dans la même sous-population : la première parmi les malades, la seconde parmi les tests positifs. Toujours repérer après le « sachant » dans quel groupe on se restreint.

La somme des branches, pas n'importe lesquelles

FAUX : « la somme de toutes les probabilités d’un arbre vaut $1$ ».

VRAI : seules les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à $1$ (par exemple $P_M(T) + P_M(\overline{T}) = 0{,}95 + 0{,}05 = 1$ ). En revanche, la somme des chemins complets (les intersections, au bout de l’arbre) vaut aussi $1$ , car ils décrivent tous les cas possibles.

Indépendant n'est pas contraire

FAUX : « deux événements indépendants ne peuvent pas se produire en même temps ».

VRAI : être indépendants signifie que l’un n’influence pas la probabilité de l’autre, pas qu’ils s’excluent. Des événements qui ne peuvent jamais se produire ensemble sont dits incompatibles ( $P(A \cap B) = 0$ ), ce qui est différent. On teste l’indépendance avec l’égalité $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , jamais en regardant s’ils sont contraires.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

Gratuit · corrigé

Calculer une probabilité sur un arbre

On donne un arbre pondéré à deux niveaux décrivant deux événements $A$ et $B$ . Au premier niveau : $P(A) = 0{,}6$ et $P(\overline{A}) = 0{,}4.$ Au second niveau : $P_A(B) = 0{,}5$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}25.$ a) Calculer $P_A(\overline{B})$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}).$ b) Calculer $P(A \cap B)$ , la probabilité du chemin $A$ puis $B.$ c) Calculer $P(\overline{A} \cap B).$

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Lire un tableau croisé de dépistage

Dans un centre de santé, $200$ patients ont passé un test de dépistage. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : parmi les $50$ patients malades $(M)$ , $45$ ont un test positif $(T)$ ; parmi les $150$ patients non malades $(\overline{M})$ , $30$ ont un test positif. On choisit un patient au hasard. a) Calculer $P(M)$ , la probabilité qu'il soit malade. b) Calculer $P_M(T)$ , la probabilité que son test soit positif sachant qu'il est malade. c) Calculer $P_T(M)$ , la probabilité qu'il soit malade sachant que son test est positif.

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Construire l'arbre d'un dépistage

Dans une population, une maladie $M$ touche $5\,\%$ des personnes : $P(M) = 0{,}05.$ Un test de dépistage $T$ est utilisé. Chez une personne malade, il est positif dans $80\,\%$ des cas : $P_M(T) = 0{,}80.$ Chez une personne non malade, il est négatif dans $90\,\%$ des cas : $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90.$ a) Déterminer $P(\overline{M})$ , $P_M(\overline{T})$ et $P_{\overline{M}}(T).$ b) Calculer $P(M \cap T)$ , la probabilité d'être malade et d'avoir un test positif. c) Calculer $P(\overline{M} \cap T)$ , la probabilité d'être non malade et d'avoir un test positif (un faux positif).

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Probabilités totales : deux centres de préparation

Une pharmacie hospitalière prépare des poches de soin dans deux centres. Le centre $A$ prépare $70\,\%$ des poches, le centre $B$ en prépare $30\,\%.$ Une poche peut présenter un défaut de conditionnement $(D).$ Au centre $A$ , $2\,\%$ des poches ont un défaut : $P_A(D) = 0{,}02.$ Au centre $B$ , $5\,\%$ des poches ont un défaut : $P_B(D) = 0{,}05.$ On choisit une poche au hasard. a) Calculer $P(A \cap D)$ et $P(B \cap D).$ b) En déduire $P(D)$ , la probabilité qu'une poche présente un défaut.

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Un facteur de risque est-il lié à la maladie ?

Une étude porte sur $500$ personnes. On note $F$ l'événement « la personne est sédentaire » et $M$ l'événement « la personne présente l'affection étudiée ». On relève : $200$ personnes sédentaires, $150$ personnes atteintes de l'affection, et $90$ personnes à la fois sédentaires et atteintes. On choisit une personne au hasard. a) Calculer $P(F)$ , $P(M)$ et $P(F \cap M).$ b) Les événements $F$ et $M$ sont-ils indépendants ? c) Calculer $P_F(M)$ et comparer à $P(M).$ Interpréter.

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Effet indésirable selon le groupe d'âge

Les patients suivis dans un service se répartissent en deux groupes d'âge : $60\,\%$ sont des patients jeunes $(J)$ et le reste des patients âgés $(\overline{J}).$ Après la prise d'un traitement, un effet indésirable léger $(E)$ apparaît chez $10\,\%$ des patients jeunes : $P_J(E) = 0{,}10$ , et chez $20\,\%$ des patients âgés : $P_{\overline{J}}(E) = 0{,}20.$ a) Donner $P(J)$ et $P(\overline{J})$ , puis calculer $P(J \cap E)$ et $P(\overline{J} \cap E).$ b) Calculer $P(E)$ , la probabilité qu'un patient présente cet effet. c) Un patient présente l'effet indésirable. Calculer la probabilité qu'il soit âgé, $P_E(\overline{J}).$

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Bonus

Synthèse : analyser complètement un dépistage

On dépiste une maladie $M$ dans une population où $P(M) = 0{,}10.$ Le test $T$ a une sensibilité $P_M(T) = 0{,}85$ (positif chez les malades) et une spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}80$ (négatif chez les non-malades). a) Construire l'arbre et calculer les probabilités des quatre chemins, puis vérifier que leur somme vaut $1.$ b) Calculer $P(T)$ puis $P_T(M)$ , et interpréter. c) Compléter un tableau croisé pour une cohorte de $1\,000$ personnes. d) Les événements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ?

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Test positif : est-on vraiment malade ?

Une maladie $M$ touche $4\,\%$ d'une population : $P(M) = 0{,}04.$ Un test $T$ détecte la maladie chez $90\,\%$ des malades : $P_M(T) = 0{,}90.$ Chez les non-malades, il est négatif dans $95\,\%$ des cas : $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}95.$ a) Construire l'arbre et calculer $P(M \cap T)$ et $P(\overline{M} \cap T).$ b) Calculer $P(T)$ , la probabilité d'avoir un test positif. c) Calculer $P_T(M)$ , la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif. Interpréter.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

Une probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement B sachant qu'un autre événement A est déjà réalisé. On la note P de B sachant A et on la calcule en divisant la probabilité que A et B se produisent ensemble par la probabilité de A. En santé, c'est par exemple la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade : on se place uniquement parmi les personnes malades, et on regarde quelle part d'entre elles a un test positif.

Pourquoi un test de dépistage positif ne veut pas toujours dire qu'on est malade ?

Parce qu'il faut distinguer deux probabilités différentes : la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade, et la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif. Quand la maladie est rare dans la population, les personnes non malades sont très nombreuses, donc même un faible taux de faux positifs produit beaucoup de tests positifs chez des personnes saines. La probabilité d'être vraiment malade après un test positif peut alors rester faible. C'est pour cela qu'un test positif est en général confirmé par un second examen.

Que signifie l'indépendance de deux événements ?

Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Concrètement, A et B sont indépendants si la probabilité que A et B se produisent ensemble est égale au produit de la probabilité de A par la probabilité de B. En santé-social, cela revient souvent à se demander si un facteur de risque et une maladie sont liés ou non : s'ils sont indépendants, la proportion de malades est la même que l'on possède le facteur de risque ou non.

La probabilité conditionnelle

L’arbre pondéré

Le tableau croisé

La formule des probabilités totales

L’indépendance

Pièges à éviter

Exercices corrigés

Calculer une probabilité sur un arbre

Lire un tableau croisé de dépistage

Construire l'arbre d'un dépistage

Probabilités totales : deux centres de préparation

Un facteur de risque est-il lié à la maladie ?

Effet indésirable selon le groupe d'âge

Synthèse : analyser complètement un dépistage

Test positif : est-on vraiment malade ?

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Questions fréquentes

Un facteur de risque est-il lié à la maladie ?

Test positif : est-on vraiment malade ?