Première ST2S · Chapitre 5

La dérivation : nombre dérivé, tangente et variations

Cours de Première ST2S sur la dérivation : taux de variation, nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, dérivées usuelles et lien avec les variations, appliqués à la santé.

8 exercices corrigés · Première ST2S - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En santé-social, on ne se contente pas de connaître une valeur : on veut souvent savoir comment elle évolue. À quelle vitesse une population de bactéries se multiplie-t-elle ? La concentration d’un médicament dans le sang est-elle en train de monter ou de descendre ? À quel instant atteint-elle son maximum ? La dérivation répond à toutes ces questions : elle mesure la vitesse de variation d’une fonction et permet de retrouver ses variations à partir d’un simple calcul.

Ce que tu sauras faire

Je sais calculer un taux de variation entre deux valeurs.
Je comprends que le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ .
Je sais écrire l’équation d’une tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Je connais les dérivées usuelles ( $x^n$ , constantes) et je sais dériver une somme $u + v$ et un multiple $k\,u$ .
Je sais relier le signe de $f'$ au sens de variation de $f$ et trouver les extremums.

À quoi ça sert ?

Imagine une culture de bactéries dans un laboratoire d’analyses : leur nombre augmente, mais à quelle vitesse ? Ou un médicament injecté à un patient : sa concentration dans le sang monte, atteint un pic, puis l’organisme l’élimine. La dérivation permet de répondre à « à quelle vitesse ? » à chaque instant. Le signe de la dérivée dit si la grandeur augmente ( $f' > 0$ ) ou diminue ( $f' < 0$ ), et l’endroit où elle s’annule repère le maximum : par exemple l’instant où le médicament est le plus présent dans le sang, donc le plus efficace.

Du taux de variation au nombre dérivé

Taux de variation

Soit $f$ une fonction et deux nombres $a$ et $b$ distincts de son domaine. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}.$ C’est le coefficient directeur de la droite (la sécante) qui passe par les deux points de la courbe d’abscisses $a$ et $b$ . Il mesure une variation moyenne entre ces deux valeurs.

Vitesse moyenne d'élimination

La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang est donnée à deux instants : $C(2) = 8$ et $C(5) = 5$ (en heures). Le taux de variation entre $t = 2$ et $t = 5$ est $\dfrac{C(5) - C(2)}{5 - 2} = \dfrac{5 - 8}{3} = \dfrac{-3}{3} = -1.$ Entre la $2^{e}$ et la $5^{e}$ heure, la concentration baisse en moyenne de $1$ mg/L par heure : le résultat est négatif, donc le médicament est en phase d’élimination.

Nombre dérivé

Lorsque le nombre $b$ se rapproche de plus en plus de $a$ , le taux de variation se rapproche d’une valeur limite appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ (on lit « $f$ prime de $a$ »).

Le nombre dérivé mesure la vitesse de variation de $f$ exactement en $a$ (une variation instantanée), et non plus une moyenne entre deux points.

Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite qui « épouse » la courbe en ce point. Son coefficient directeur est exactement le nombre dérivé $f'(a)$ .

Ainsi :

si $f'(a) > 0$ , la tangente monte : la courbe est croissante autour de $a$ ;
si $f'(a) < 0$ , la tangente descend : la courbe est décroissante autour de $a$ ;
si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale.

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)\,(x - a) + f(a).$ Pour l’écrire, on calcule deux nombres et on les remplace dans la formule :

$f(a)$ : l’ordonnée du point de contact ;
$f'(a)$ : le coefficient directeur (après avoir déterminé $f'$ ).

On développe ensuite pour obtenir une équation de la forme $y = m\,x + p$ .

Tangente à la courbe de la fonction carré

On cherche la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ au point d’abscisse $a = 3$ .

D’abord $f(3) = 3^2 = 9$ . Ensuite, la dérivée de la fonction carré est $f'(x) = 2\,x$ , donc $f'(3) = 2 \times 3 = 6$ . On remplace : $y = 6\,(x - 3) + 9 = 6\,x - 18 + 9 = 6\,x - 9.$ La tangente a pour équation $y = 6\,x - 9$ .

La fonction dérivée et les dérivées usuelles

Fonction dérivée et dérivées usuelles

Lorsqu’on peut calculer le nombre dérivé $f'(a)$ pour toutes les valeurs $a$ d’un intervalle, on définit une nouvelle fonction, la fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ : à chaque $x$ , elle associe le nombre dérivé $f'(x)$ .

Pour tout réel $k$ et tout entier $n$ , on retient les dérivées usuelles suivantes :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2\,x$
$x^3$	$3\,x^2$
$x^n$	$n\,x^{n-1}$

La dérivée d’une constante est nulle : une grandeur constante ne varie pas. Pour combiner ces dérivées, si $u$ et $v$ sont dérivables et $k$ un réel : $(u + v)' = u' + v' \qquad \text{et} \qquad (k\,u)' = k\,u'.$ On dérive donc terme par terme, et un coefficient placé devant une fonction se conserve.

Dériver un polynôme

Soit $f(x) = 2\,x^3 - 5\,x^2 + 4\,x - 7$ . On dérive chaque terme :

la dérivée de $2\,x^3$ est $2 \times 3\,x^2 = 6\,x^2$ ;
la dérivée de $-5\,x^2$ est $-5 \times 2\,x = -10\,x$ ;
la dérivée de $4\,x$ est $4 \times 1 = 4$ ;
la dérivée de la constante $-7$ est $0$ .

En rassemblant : $f'(x) = 6\,x^2 - 10\,x + 4$ . Mémo : pour chaque terme $a\,x^n$ , on multiplie par l’exposant et on baisse l’exposant de $1$ .

Signe de la dérivée et variations

Signe de la dérivée, variations et extremums

Sur un intervalle $I$ :

si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ ;
si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ ;
si $f'(x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Étudier le signe de $f'$ , c’est donc retrouver les variations de $f$ . De plus, si $f'$ s’annule en changeant de signe en un nombre $a$ , alors $f$ admet un extremum en $a$ :

$f'$ passe de positive à négative ( $+$ puis $-$ ) : $f$ admet un maximum en $a$ ;
$f'$ passe de négative à positive ( $-$ puis $+$ ) : $f$ admet un minimum en $a$ .

En un tel point, la tangente est horizontale car $f'(a) = 0$ .

Dresser un tableau de variation

Calculer la fonction dérivée $f'$ .
Résoudre l’équation $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs où la dérivée s’annule.
Étudier le signe de $f'$ sur l’intervalle d’étude.
En déduire les variations de $f$ ( $\nearrow$ là où $f' > 0$ , $\searrow$ là où $f' < 0$ ) et reporter les valeurs aux bornes et aux extremums.

À quel instant la concentration est-elle maximale ?

La concentration (en mg/L) d’un médicament dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 6$ (en heures) par $C(t) = -t^2 + 6\,t$ .

On dérive : $C'(t) = -2\,t + 6$ . On cherche où elle s’annule : $-2\,t + 6 = 0$ donne $t = 3$ . Pour $t < 3$ , $C'(t) > 0$ (la concentration monte) ; pour $t > 3$ , $C'(t) < 0$ (elle descend). La dérivée passe de $+$ à $-$ en $t = 3$ : il y a donc un maximum en $t = 3$ , avec $C(3) = -3^2 + 6 \times 3 = -9 + 18 = 9$ .

$t$	$0$		$3$		$6$
$C'(t)$		$+$	$0$	$-$
$C(t)$	$0$	$\nearrow$	$9$	$\searrow$	$0$

La concentration est maximale, égale à $9$ mg/L, $3$ heures après la prise : c’est l’instant où le médicament est le plus présent dans le sang.

Deux pièges classiques à éviter

FAUX : « la concentration $C(t)$ est positive, donc la fonction est croissante ».

VRAI : ce qui donne le sens de variation, c’est le signe de la dérivée $f'$ , pas celui de $f$ . Une grandeur peut être positive tout en diminuant : sur l’exemple, $C(5) = 5 > 0$ mais $C'(5) = -2 \times 5 + 6 = -4 < 0$ , donc la concentration diminue à cet instant.

FAUX : « la dérivée de $f(x) = 5\,x^2 + 3$ est $f'(x) = x + 3$ ».

VRAI : on conserve le coefficient et la dérivée d’une constante est nulle. La dérivée de $5\,x^2$ est $5 \times 2\,x = 10\,x$ et celle de $3$ est $0$ , donc $f'(x) = 10\,x$ . Le coefficient $5$ se garde (règle $(k\,u)' = k\,u'$ ) et le terme constant disparaît.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Dériver des fonctions usuelles et un polynôme

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes. a) $f(x) = x^3$ ; b) $g(x) = 5\,x^2$ ; c) $h(x) = 3\,x^2 - 7\,x + 2.$

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Taux de variation d'une concentration

Après une prise, la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang vaut $C(2) = 8$ à $t = 2$ heures et $C(5) = 5$ à $t = 5$ heures. a) Calculer le taux de variation de $C$ entre $t = 2$ et $t = 5.$ b) Interpréter ce résultat pour le patient.

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Équation d'une tangente à une courbe

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4\,x + 5.$ On note $\mathcal{C}$ sa courbe. a) Calculer $f(1).$ b) Déterminer la fonction dérivée $f'$ , puis calculer $f'(1).$ c) En déduire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1.$

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Signe de la dérivée et phases d'un médicament

Après une injection, la concentration (en mg/L) d'un produit dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 4$ (en heures) par $C(t) = -3\,t^2 + 12\,t.$ a) Déterminer la fonction dérivée $C'.$ b) Résoudre l'équation $C'(t) = 0.$ c) Étudier le signe de $C'$ sur $[0\,;\,4]$ et en déduire les phases (montée puis descente) de la concentration.

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Vitesse de croissance d'une culture de bactéries

Dans un laboratoire d'analyses, le nombre de bactéries d'une culture (en milliers) après $t$ heures est modélisé pour $0 \le t \le 8$ par $N(t) = 5\,t^2 + 30\,t + 200.$ a) Calculer $N(4)$ , le nombre de bactéries au bout de $4$ heures. b) Déterminer la fonction dérivée $N'.$ c) Calculer $N'(4)$ et interpréter ce résultat.

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Bonus

Étude complète d'une population de bactéries (bonus)

Dans une boîte de culture, le nombre de bactéries (en milliers) est modélisé pour $0 \le t \le 12$ (en heures) par $N(t) = -2\,t^2 + 24\,t + 50.$ a) Calculer $N(0)$ et déterminer $N'.$ b) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $N$ au point d'abscisse $0$ et interpréter son coefficient directeur. c) Résoudre $N'(t) = 0$ , dresser le tableau de variation de $N$ sur $[0\,;\,12]$ et préciser le nombre maximal de bactéries ainsi que l'instant où il est atteint.

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Tableau de variation et concentration maximale

Après une prise, la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang est modélisée pour $0 \le t \le 8$ (en heures) par $C(t) = -2\,t^2 + 16\,t.$ a) Calculer $C(0)$ et $C(8)$ , puis interpréter. b) Déterminer $C'$ et résoudre $C'(t) = 0.$ c) Dresser le tableau de variation de $C$ sur $[0\,;\,8].$ d) En déduire la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte.

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Variations et extremums d'une fonction polynôme

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1\,;\,3]$ par $f(x) = x^3 - 3\,x^2 + 4.$ a) Déterminer la fonction dérivée $f'.$ b) Vérifier que $f'(x) = 3\,x\,(x - 2)$ , puis résoudre $f'(x) = 0.$ c) Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de $f.$ d) Préciser le maximum et le minimum de $f$ sur $[-1\,;\,3].$

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le nombre dérivé d'une fonction en un point ?

Le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a, noté f prime de a, mesure la vitesse à laquelle f varie au voisinage de a. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. En santé-social, si une fonction décrit la concentration d'un médicament dans le sang au cours du temps, le nombre dérivé à un instant donné indique la vitesse à laquelle cette concentration augmente ou diminue à cet instant.

Comment trouver l'équation d'une tangente à une courbe ?

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y égale f prime de a fois la quantité x moins a, le tout plus f de a. Il faut donc calculer deux choses : f de a, qui donne l'ordonnée du point de contact, et f prime de a, qui donne le coefficient directeur de la droite. Une fois ces deux nombres connus, on les remplace dans la formule et on développe pour obtenir une équation de la forme y égale m fois x plus p.

Quel est le lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction ?

Sur un intervalle, si la dérivée f prime est positive, alors la fonction f est croissante ; si la dérivée est négative, alors f est décroissante. Là où la dérivée s'annule en changeant de signe, la fonction atteint un maximum ou un minimum. Étudier le signe de la dérivée permet donc de dresser le tableau de variation d'une fonction, par exemple pour savoir à quel instant la concentration d'un médicament est maximale.