Première ST2S · Chapitre 4

Suites arithmétiques et géométriques

Cours de Première ST2S sur les suites arithmétiques et géométriques : raison, terme général, sens de variation et modélisation en santé-social, avec exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première ST2S - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

En santé-social, les suites servent surtout à modéliser une évolution dans le temps : l’effectif d’une population, le nombre de cas d’une maladie, la dose totale reçue par un patient au fil des prises, le nombre de places dans des structures d’accueil. Deux modèles reviennent sans arrêt : soit on ajoute toujours la même chose (arithmétique, croissance linéaire), soit on multiplie toujours par la même chose (géométrique, croissance exponentielle).

À la fin de ce chapitre, je sais…

reconnaître si une suite est arithmétique ou géométrique ;
calculer un terme avec la formule du terme général ;
déterminer le sens de variation d’une suite ;
traduire une évolution en pourcentage par une suite géométrique ;
choisir le bon modèle pour une situation de santé-social concrète.

À quoi ça sert ?

Un service de soins accueille un nombre de patients qui augmente de $6$ chaque jour : c’est une suite arithmétique, on ajoute toujours la même chose. À côté, le nombre de cas d’une épidémie qui progresse de $10\,\%$ chaque semaine est une suite géométrique, car on multiplie par le même coefficient à chaque étape. Savoir distinguer les deux, c’est savoir prévoir un effectif, suivre une dose cumulée ou anticiper la diffusion d’une maladie.

Suite numérique

Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres : à chaque entier $n$ (le rang) elle associe un nombre $u_n$ (le terme de rang $n$ ). On note $u_0$ le premier terme, $u_1$ le suivant, etc. Ici, $n$ représente souvent un nombre d’étapes : un jour, une semaine, une prise de médicament.

Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$ Le nombre $r$ peut être positif (la suite augmente) ou négatif (la suite diminue).

Terme général d'une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ , alors pour tout entier $n$ : $u_n = u_0 + n\,r$ Si la suite démarre à $u_1$ , on utilise plutôt $u_n = u_1 + (n - 1)\,r$ .

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ (avec $q \neq 0$ ) si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$

Terme général d'une suite géométrique

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ , alors pour tout entier $n$ : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ Si la suite démarre à $u_1$ , on utilise $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$ .

Évolution en pourcentage et suite géométrique

Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur : $\text{CM} = 1 + \dfrac{t}{100}$ Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $\text{CM} = 1 - \dfrac{t}{100}$ .

Si une grandeur subit le même taux d’évolution à chaque étape, alors elle est géométrique de raison $q = \text{CM}$ . Par exemple, une hausse répétée de $10\,\%$ donne $q = 1{,}10$ .

Sens de variation

Suite arithmétique : le sens dépend du signe de $r$ . Si $r > 0$ elle est croissante, si $r < 0$ elle est décroissante.
Suite géométrique de premier terme positif : si $q > 1$ elle est croissante, si $0 < q < 1$ elle est décroissante.

Reconnaître la nature d'une suite

Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ entre deux termes consécutifs : si elle est constante, la suite est arithmétique et cette constante est la raison $r$ .
Sinon, calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : s’il est constant, la suite est géométrique et ce quotient est la raison $q$ .

Exemple : effectif d'un service contre nombre de cas

Effectif d’un service. Un service accueille $40$ patients aujourd’hui, puis $8$ de plus chaque jour. La raison est $r = 8$ et $u_0 = 40$ . Au bout de $5$ jours : $u_5 = 40 + 5 \times 8 = 80 \text{ patients}.$

Nombre de cas. Une maladie touche $200$ personnes cette semaine, et ce nombre augmente de $10\,\%$ par semaine. La raison est $q = 1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}10$ et $u_0 = 200$ . Au bout de $2$ semaines : $u_2 = 200 \times 1{,}10^{\,2} = 242 \text{ cas}.$

Exemple : une dose cumulée

Un patient reçoit une dose de $50$ mg de médicament à la première prise, puis $50$ mg de plus à chaque prise suivante : la dose totale reçue après $n$ prises supplémentaires est $u_n = 50 + 50\,n$ (suite arithmétique de raison $r = 50$ ). Après $3$ prises de plus, il a reçu $u_3 = 50 + 50 \times 3 = 200$ mg au total.

À ne pas confondre

FAUX : « augmenter de $10\,\%$ , c’est ajouter $10$ ». VRAI : c’est multiplier par $1{,}10$ (donc une suite géométrique, pas arithmétique).
Arithmétique : on ajoute la raison. Géométrique : on multiplie par la raison.
Attention à l’indexation : selon que la suite commence à $u_0$ ou $u_1$ , la formule change ( $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_1 + (n-1)r$ ).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Nombre de cas : calculer un terme d'une suite géométrique

Lors du suivi d'une épidémie saisonnière, on dénombre $200$ cas la première semaine. Ce nombre augmente ensuite de $5\,\%$ chaque semaine. On note $u_n$ le nombre de cas au bout de $n$ semaines, donc $u_0 = 200$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_3$ (arrondi à l'unité).

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Reconnaître une suite et calculer un terme

Un service de soins de suite accueille chaque jour le même nombre de nouveaux patients. Au départ, le service compte $40$ patients, et chaque jour on en accueille $6$ de plus. On note $u_n$ le nombre de patients au bout de $n$ jours, donc $u_0 = 40$ et $u_{n+1} = u_n + 6$ .

1. Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison.
2. Calculer $u_4$ , le nombre de patients au bout de $4$ jours.

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Dose cumulée de médicament au fil des prises

Un patient suit un traitement. Dès la première prise, il a reçu $80$ mg de principe actif, puis chaque prise suivante lui apporte $60$ mg de plus. On note $u_n$ la dose totale reçue, en mg, après $n$ prises supplémentaires, donc $u_0 = 80$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison $r$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_6$ , la dose totale reçue après $6$ prises supplémentaires.

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Population d'une commune et taux d'évolution constant

Une commune compte $12\,000$ habitants au début d'une étude démographique. Sa population augmente de $2\,\%$ chaque année. On note $u_n$ le nombre d'habitants au bout de $n$ années, donc $u_0 = 12\,000$ .

1. Expliquer pourquoi la suite $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Calculer la population $u_5$ au bout de $5$ années (arrondi à l'unité).

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Sens de variation de deux suites

Un hôpital suit deux indicateurs d'activité.

1. Le nombre de patients en attente d'une place chaque jour est modélisé par la suite $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison $r = -3$ . Étudier le sens de variation de $(u_n)$ , puis calculer $u_6$ .

2. Le nombre de consultations en télémédecine, en milliers par mois, est modélisé par la suite $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 300$ et de raison $q = 1{,}08$ . Étudier le sens de variation de $(v_n)$ , puis calculer $v_4$ (arrondi au centième).

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Comparer deux évolutions dans un hôpital

On suit deux indicateurs à partir de la même semaine, comptés en nombre de personnes.

Le nombre de patients pris en charge par un service A part de $300$ et augmente toujours de $40$ chaque semaine : on le modélise par la suite $(a_n)$ avec $a_0 = 300$ .

Le nombre de cas d'une maladie contagieuse B part de $120$ et augmente de $30\,\%$ chaque semaine : on le modélise par la suite $(b_n)$ avec $b_0 = 120$ .

1. Donner la nature de chaque suite, puis exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ .
2. Calculer $a_5$ , $b_5$ , $a_6$ et $b_6$ (arrondir $b_n$ à l'unité).
3. Au bout de combien de semaines le nombre de cas B dépasse-t-il pour la première fois le nombre de patients du service A ?

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Bonus

Recherche d'un seuil : campagne de vaccination

Lors d'une campagne de vaccination, $2\,000$ personnes sont vaccinées le premier mois. Grâce à la mobilisation des centres, ce nombre cumulé augmente de $25\,\%$ chaque mois. On note $u_n$ le nombre de personnes vaccinées au bout de $n$ mois, donc $u_0 = 2\,000$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. À partir de combien de mois le nombre de personnes vaccinées dépassera-t-il $5\,000$  ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.

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Recherche d'un seuil : population de personnes âgées

Dans un territoire, on suit le nombre de personnes âgées de plus de $75$ ans bénéficiant d'une aide à domicile. Au début de l'étude, elles sont $500$ , et ce nombre augmente de $4\,\%$ chaque année. On note $u_n$ ce nombre au bout de $n$ années, donc $u_0 = 500$ .

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$ .
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
3. À partir de combien d'années le nombre de bénéficiaires dépassera-t-il $600$  ? Vérifier en calculant les termes qui encadrent ce seuil.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quand utilise-t-on une suite arithmétique plutôt que géométrique en ST2S ?

On choisit une suite arithmétique quand une quantité augmente ou diminue d'un montant fixe à chaque étape, par exemple un service qui accueille 8 patients de plus chaque jour. On choisit une suite géométrique quand elle évolue d'un pourcentage fixe, par exemple un nombre de cas qui augmente de 12 pour cent par semaine.

Quel est le lien entre un taux d'évolution constant et une suite géométrique ?

Une évolution de t pour cent revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1 plus t divisé par 100. Si ce coefficient est le même à chaque étape, la grandeur est une suite géométrique dont la raison q est ce coefficient multiplicateur. Une hausse de 5 pour cent correspond ainsi à une raison q égale à 1,05.

Comment calculer un terme d'une suite géométrique en ST2S ?

Pour une suite géométrique de premier terme u indice 0 et de raison q, le terme général est u indice n égale u indice 0 multiplié par q puissance n. On obtient u indice 5 en calculant u indice 0 fois q puissance 5 à la calculatrice.