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Rêves Vision
Première ST2S

Nombre de cas : calculer un terme d'une suite géométrique

Énoncé

Lors du suivi d'une épidémie saisonnière, on dénombre 200200 cas la première semaine. Ce nombre augmente ensuite de 5 %5\,\% chaque semaine. On note unu_n le nombre de cas au bout de nn semaines, donc u0=200u_0 = 200.

1. Justifier que (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn, puis calculer u3u_3 (arrondi à l'unité).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Nature de la suite

    Augmenter de 5 %5\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1+5100=1,051 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05. On a donc un+1=1,05×unu_{n+1} = 1{,}05 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,05q = 1{,}05 et de premier terme u0=200u_0 = 200.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=200×1,05 n.u_n = 200 \times 1{,}05^{\,n}.

  3. 3. Calculer le nombre de cas après 3 semaines

    Pour n=3n = 3 : u3=200×1,053=200×1,157625=231,525.u_3 = 200 \times 1{,}05^{3} = 200 \times 1{,}157625 = 231{,}525.

    Au bout de 3 semaines, on compte environ 232 cas.\textbf{Au bout de 3 semaines, on compte environ 232 cas.}
Réponse finale
un=200×1,05 netu3≈232 casu_n = 200 \times 1{,}05^{\,n} \quad\text{et}\quad u_3 \approx 232\ \text{cas}
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