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Rêves Vision
Première ST2S

Population d'une commune et taux d'évolution constant

Énoncé

Une commune compte 12 00012\,000 habitants au début d'une étude démographique. Sa population augmente de 2 %2\,\% chaque année. On note unu_n le nombre d'habitants au bout de nn années, donc u0=12 000u_0 = 12\,000.

1. Expliquer pourquoi la suite (un)(u_n) est géométrique et donner sa raison qq.
2. Exprimer unu_n en fonction de nn.
3. Calculer la population u5u_5 au bout de 55 années (arrondi à l'unité).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Augmenter de 2 %2\,\%, c'est multiplier par un coefficient multiplicateur : lequel ? La suite est-elle alors arithmétique ou géométrique ?
  2. Écris le terme général d'une suite géométrique : un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}.
  3. Remplace u0u_0 par 12 00012\,000, qq par 1,021{,}02 et nn par 55, puis calcule à la calculatrice.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Du taux d'évolution à la raison

    Une augmentation de 2 %2\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur CM=1+2100=1,02\text{CM} = 1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02. Comme ce taux est le même chaque année, on a un+1=1,02×unu_{n+1} = 1{,}02 \times u_n : la suite (un)(u_n) est geˊomeˊtrique\textbf{géométrique} de raison q=1,02q = 1{,}02.

  2. 2. Terme général

    Pour une suite géométrique, un=u0×q nu_n = u_0 \times q^{\,n}, donc un=12 000×1,02 n.u_n = 12\,000 \times 1{,}02^{\,n}.

  3. 3. Calculer la population après 5 ans

    Pour n=5n = 5 : u5=12 000×1,025=12 000×1,10408080…≈13 248,97.u_5 = 12\,000 \times 1{,}02^{5} = 12\,000 \times 1{,}10408080\ldots \approx 13\,248{,}97. Comme on compte des habitants, on arrondit à l'unité.

    Au bout de 5 ans, la commune compte environ 13 249 habitants.\textbf{Au bout de 5 ans, la commune compte environ 13 249 habitants.}
Réponse finale
un=12 000×1,02 netu5≈13 249 habitantsu_n = 12\,000 \times 1{,}02^{\,n} \quad\text{et}\quad u_5 \approx 13\,249\ \text{habitants}
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