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Rêves Vision
Première ST2S

Vitesse de croissance d'une culture de bactéries

Énoncé

Dans un laboratoire d'analyses, le nombre de bactéries d'une culture (en milliers) après tt heures est modélisé pour 0≤t≤80 \le t \le 8 par N(t)=5 t2+30 t+200.N(t) = 5\,t^2 + 30\,t + 200. a) Calculer N(4)N(4), le nombre de bactéries au bout de 44 heures. b) Déterminer la fonction dérivée N′.N'. c) Calculer N′(4)N'(4) et interpréter ce résultat.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour la question a), remplace tt par 44 dans N(t)N(t) : calcule d'abord 424^{2}, puis chaque terme.
  2. Pour dériver, traite chaque terme séparément : la dérivée de 5 t25\,t^2 utilise (k u)′=k u′(k\,u)' = k\,u', la dérivée de 30 t30\,t vaut 3030, et la dérivée de la constante 200200 vaut 0.0.
  3. Le nombre dérivé N′(4)N'(4) représente la vitesse instantanée de croissance à t=4t = 4 heures, exprimée en milliers de bactéries par heure.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Nombre de bactéries au bout de 4 heures

    On remplace tt par 44 dans N(t)=5 t2+30 t+200.N(t) = 5\,t^2 + 30\,t + 200. On obtient N(4)=5×42+30×4+200=5×16+120+200=80+120+200=400.N(4) = 5 \times 4^2 + 30 \times 4 + 200 = 5 \times 16 + 120 + 200 = 80 + 120 + 200 = 400. Au bout de 44 heures, la culture compte donc 400400 milliers de bactéries, soit 400 000400\,000 bactéries.

  2. 2. b) Fonction dérivée

    On dérive terme par terme. La dérivée de 5 t25\,t^2 est 5×2 t=10 t.5 \times 2\,t = 10\,t. La dérivée de 30 t30\,t est 30.30. La dérivée de la constante 200200 est 0.0. Donc N′(t)=10 t+30.N'(t) = 10\,t + 30.

  3. 3. c) Vitesse instantanée à t = 4

    On calcule N′(4)=10×4+30=40+30=70.N'(4) = 10 \times 4 + 30 = 40 + 30 = 70. Ce nombre dérivé est positif : la culture est en croissance. Sa valeur signifie qu'à l'instant t=4t = 4 heures, le nombre de bactéries augmente à la vitesse de 7070 milliers de bactéries par heure. À cet instant, la population croît d'environ 70 00070\,000 bactéries par heure.
Réponse finale
N(4)=400 (milliers);N′(t)=10 t+30;N′(4)=70 : la population croıˆt de 70 milliers de bacteˊries par heureN(4) = 400 \text{ (milliers)} \quad ; \quad N'(t) = 10\,t + 30 \quad ; \quad N'(4) = 70 \text{ : la population croît de } 70 \text{ milliers de bactéries par heure}
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