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Première ST2S Approfondissement gratuit

Étude complète d'une population de bactéries (bonus)

Énoncé

Dans une boîte de culture, le nombre de bactéries (en milliers) est modélisé pour 0≤t≤120 \le t \le 12 (en heures) par N(t)=−2 t2+24 t+50.N(t) = -2\,t^2 + 24\,t + 50. a) Calculer N(0)N(0) et déterminer N′.N'. b) Donner l'équation de la tangente à la courbe de NN au point d'abscisse 00 et interpréter son coefficient directeur. c) Résoudre N′(t)=0N'(t) = 0, dresser le tableau de variation de NN sur [0 ; 12][0\,;\,12] et préciser le nombre maximal de bactéries ainsi que l'instant où il est atteint.
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  1. Pour N(0)N(0), remplace tt par 0.0. Pour dériver, la dérivée de −2 t2-2\,t^2 est −4 t-4\,t, celle de 24 t24\,t est 2424, et celle de la constante 5050 est nulle.
  2. La tangente au point d'abscisse 00 utilise la formule y=N′(0)(t−0)+N(0)y = N'(0)(t - 0) + N(0) : son coefficient directeur N′(0)N'(0) est la vitesse de croissance initiale, en milliers de bactéries par heure.
  3. L'expression N′(t)=−4 t+24N'(t) = -4\,t + 24 est affine de coefficient négatif : elle est positive avant la valeur qui l'annule, négative après. Là où elle passe de ++ à −-, NN atteint son maximum : calcule NN en cette valeur.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Valeur initiale et dérivée

    On remplace tt par 00 dans N(t)=−2 t2+24 t+50N(t) = -2\,t^2 + 24\,t + 50 : N(0)=−2×02+24×0+50=50.N(0) = -2 \times 0^2 + 24 \times 0 + 50 = 50. Au départ, la culture compte 5050 milliers de bactéries. On dérive terme par terme : la dérivée de −2 t2-2\,t^2 est −4 t-4\,t, celle de 24 t24\,t est 2424, celle de 5050 est 0.0. Donc N′(t)=−4 t+24.N'(t) = -4\,t + 24.

  2. 2. b) Tangente au point d'abscisse 0

    On calcule le coefficient directeur N′(0)=−4×0+24=24.N'(0) = -4 \times 0 + 24 = 24. On applique la formule y=N′(0)(t−0)+N(0)y = N'(0)(t - 0) + N(0) avec N′(0)=24N'(0) = 24 et N(0)=50N(0) = 50 : y=24 t+50.y = 24\,t + 50. Le coefficient directeur 2424 représente la vitesse de croissance initiale : au tout début, la population augmente d'environ 2424 milliers de bactéries par heure.

  3. 3. c) Tableau de variation et maximum

    On résout N′(t)=0N'(t) = 0 : −4 t+24=0-4\,t + 24 = 0, soit −4 t=−24-4\,t = -24, donc t=−24−4=6.t = \dfrac{-24}{-4} = 6. L'expression affine N′(t)=−4 t+24N'(t) = -4\,t + 24 est de coefficient −4<0-4 < 0 : elle est positive sur [0 ; 6[[0\,;\,6[ et négative sur ]6 ; 12].]6\,;\,12]. La population croît puis décroît. On calcule le maximum : N(6)=−2×62+24×6+50=−2×36+144+50=−72+144+50=122.N(6) = -2 \times 6^2 + 24 \times 6 + 50 = -2 \times 36 + 144 + 50 = -72 + 144 + 50 = 122. On reporte aussi N(12)=−2×122+24×12+50=−288+288+50=50.N(12) = -2 \times 12^2 + 24 \times 12 + 50 = -288 + 288 + 50 = 50.
    On obtient le tableau de variation de NN sur [0 ; 12].[0\,;\,12].
    Signe de N′(t)N'(t) : ++ sur [0 ; 6[[0\,;\,6[, puis N′(6)=0N'(6) = 0, puis −- sur ]6 ; 12].]6\,;\,12].
    Variations de NN : NN croît (↗\nearrow) de N(0)=50N(0) = 50 jusqu'au sommet N(6)=122N(6) = 122, puis décroît (↘\searrow) de 122122 jusqu'à N(12)=50.N(12) = 50.
    La dérivée passe de ++ à −- en t=6t = 6 : la population y atteint son maximum. Le nombre de bactéries est maximal, égal à 122122 milliers (soit 122 000122\,000 bactéries), au bout de 66 heures.
Réponse finale
N(0)=50 et N′(t)=−4 t+24;tangente y=24 t+50;maximum 122 milliers aˋ t=6 hN(0) = 50 \text{ et } N'(t) = -4\,t + 24 \quad ; \quad \text{tangente } y = 24\,t + 50 \quad ; \quad \text{maximum } 122 \text{ milliers à } t = 6 \text{ h}
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