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Rêves Vision
Première ST2S

Variations et extremums d'une fonction polynôme

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur [−1 ; 3][-1\,;\,3] par f(x)=x3−3 x2+4.f(x) = x^3 - 3\,x^2 + 4. a) Déterminer la fonction dérivée f′.f'. b) Vérifier que f′(x)=3 x (x−2)f'(x) = 3\,x\,(x - 2), puis résoudre f′(x)=0.f'(x) = 0. c) Étudier le signe de f′f' et dresser le tableau de variation de f.f. d) Préciser le maximum et le minimum de ff sur [−1 ; 3].[-1\,;\,3].
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pour dériver, applique xn↦n xn−1x^n \mapsto n\,x^{n-1} à chaque terme : la dérivée de x3x^3 est 3 x23\,x^2, celle de −3 x2-3\,x^2 est −6 x-6\,x, celle de la constante 44 est nulle.
  2. Pour la forme factorisée, développe 3 x (x−2)3\,x\,(x - 2) et vérifie que tu retombes sur f′.f'. Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul : 3 x=03\,x = 0 ou x−2=0.x - 2 = 0.
  3. Place les valeurs 00 et 22 dans un tableau de signes : étudie le signe de chaque facteur (3 x3\,x et x−2x - 2) puis celui du produit. Là où f′f' passe de ++ à −- il y a un maximum, là où elle passe de −- à ++ il y a un minimum.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Fonction dérivée

    On dérive terme par terme. La dérivée de x3x^3 est 3 x2.3\,x^2. La dérivée de −3 x2-3\,x^2 est −3×2 x=−6 x.-3 \times 2\,x = -6\,x. La dérivée de la constante 44 est 0.0. Donc f′(x)=3 x2−6 x.f'(x) = 3\,x^2 - 6\,x.

  2. 2. b) Forme factorisée et valeurs qui annulent f'

    On factorise 3 x2−6 x3\,x^2 - 6\,x par 3 x3\,x : 3 x2−6 x=3 x (x−2).3\,x^2 - 6\,x = 3\,x\,(x - 2). On vérifie en développant : 3 x×x−3 x×2=3 x2−6 x.3\,x \times x - 3\,x \times 2 = 3\,x^2 - 6\,x. C'est bien égal à f′(x).f'(x). Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : 3 x=03\,x = 0 donne x=0x = 0, et x−2=0x - 2 = 0 donne x=2.x = 2. La dérivée s'annule donc en x=0x = 0 et en x=2.x = 2.

  3. 3. c) Signe de f' et tableau de variation

    On étudie le signe du produit 3 x (x−2)3\,x\,(x - 2) sur [−1 ; 3].[-1\,;\,3]. Le facteur 3 x3\,x est négatif pour x<0x < 0 et positif pour x>0.x > 0. Le facteur x−2x - 2 est négatif pour x<2x < 2 et positif pour x>2.x > 2. Le produit est donc : positif sur [−1 ; 0][-1\,;\,0] (deux facteurs négatifs), négatif sur [0 ; 2][0\,;\,2] (signes contraires), positif sur [2 ; 3][2\,;\,3] (deux facteurs positifs).
    On calcule d'abord les valeurs aux bornes et aux points où f′f' s'annule : f(−1)=(−1)3−3×(−1)2+4=−1−3+4=0f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 ; f(0)=4f(0) = 4 ; f(2)=23−3×22+4=8−12+4=0f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 ; f(3)=33−3×32+4=27−27+4=4.f(3) = 3^3 - 3 \times 3^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4.
    On en déduit le tableau de variation de ff sur [−1 ; 3].[-1\,;\,3].
    Signe de f′(x)f'(x) : ++ sur [−1 ; 0[[-1\,;\,0[, puis f′(0)=0f'(0) = 0, puis −- sur ]0 ; 2[]0\,;\,2[, puis f′(2)=0f'(2) = 0, puis ++ sur ]2 ; 3].]2\,;\,3].
    Variations de ff : ff croît (↗\nearrow) de f(−1)=0f(-1) = 0 à f(0)=4f(0) = 4, puis décroît (↘\searrow) de f(0)=4f(0) = 4 à f(2)=0f(2) = 0, puis croît (↗\nearrow) de f(2)=0f(2) = 0 à f(3)=4.f(3) = 4.

  4. 4. d) Maximum et minimum

    En x=0x = 0, la dérivée passe de ++ à −- : ff y atteint un maximum local égal à f(0)=4.f(0) = 4. En x=2x = 2, la dérivée passe de −- à ++ : ff y atteint un minimum égal à f(2)=0.f(2) = 0. En comparant toutes les valeurs du tableau, le maximum de ff sur [−1 ; 3][-1\,;\,3] vaut 44 (atteint en x=0x = 0 et en x=3x = 3) et le minimum vaut 00 (atteint en x=−1x = -1 et en x=2x = 2). Sur [−1 ; 3][-1\,;\,3], ff a pour maximum 44 et pour minimum 0.0.
Réponse finale
f′(x)=3 x2−6 x=3 x (x−2);f′(x)=0 pour x=0 et x=2;maximum 4, minimum 0f'(x) = 3\,x^2 - 6\,x = 3\,x\,(x - 2) \quad ; \quad f'(x) = 0 \text{ pour } x = 0 \text{ et } x = 2 \quad ; \quad \text{maximum } 4\text{, minimum } 0
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