Première ST2S · Chapitre 7

Variable aléatoire, espérance et loi de Bernoulli

Cours de Première ST2S sur la variable aléatoire : loi de probabilité, espérance, variance, écart-type et loi de Bernoulli, avec exemples en santé-social et exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Première ST2S - programme commun technologique 2026 (BO 2 avril 2026) · Mis à jour en juin 2026

En santé-social, beaucoup d’observations se résument à deux issues : un dépistage est positif ou négatif, un traitement est efficace ou non, une personne présente ou non un caractère. Pour décrire ces situations dues au hasard et en tirer une valeur moyenne attendue, on utilise une variable aléatoire, sa loi de probabilité, son espérance et sa dispersion. Le cas à deux issues porte un nom : la loi de Bernoulli.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaître une variable aléatoire $X$ et dresser sa loi de probabilité dans un tableau.
Je sais calculer l’espérance $E(X)$ et l’interpréter comme une valeur moyenne attendue.
Je sais calculer la variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ pour mesurer la dispersion.
Je sais reconnaître une épreuve de Bernoulli et utiliser la loi de Bernoulli de paramètre $p$ ( $E(X) = p$ , $V(X) = p(1-p)$ ).

À quoi ça sert ?

Imagine un dépistage proposé à un patient : le test ressort positif ou négatif. On ne connaît pas le résultat à l’avance, mais on connaît la probabilité de chaque issue. En notant $X = 1$ pour un test positif et $X = 0$ pour un test négatif, on obtient une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli. Calculer son espérance, c’est estimer la proportion de tests positifs attendue sur un grand nombre de personnes. C’est exactement ce dont un service de santé publique a besoin pour anticiper le nombre de cas et organiser les soins.

La variable aléatoire

Variable aléatoire

On réalise une expérience dont le résultat dépend du hasard. Une variable aléatoire $X$ est un nombre que l’on associe à chaque issue de cette expérience. L’ensemble des valeurs que peut prendre $X$ se note $x_1, x_2, \dots, x_n$ .

Un caractère présent ou absent

On choisit au hasard une personne dans une population et on observe si elle présente un certain caractère (par exemple un facteur de risque). On pose :

$X = 1$ si la personne présente le caractère ;
$X = 0$ si elle ne le présente pas.

$X$ est une variable aléatoire qui ne prend que les deux valeurs $0$ et $1$ : c’est le résultat d’une expérience due au hasard, traduit par un nombre.

La loi de probabilité

Loi de probabilité

Donner la loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ , c’est associer à chaque valeur $x_i$ sa probabilité $p_i = P(X = x_i)$ . On la présente dans un tableau :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
$p_i = P(X = x_i)$	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

La somme de toutes les probabilités vaut toujours $1$ : $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$ .

Nombre de consultations dans la semaine

Dans un cabinet, on note $X$ le nombre de consultations d’un patient suivi sur une semaine. Une étude donne la loi de probabilité suivante :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}2$	$0{,}1$

On vérifie que la somme des probabilités vaut bien $1$ : $0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1$ . Le tableau est donc une loi de probabilité valable.

L’espérance

Espérance d'une variable aléatoire

L’espérance de $X$ , notée $E(X)$ , est la somme de chaque valeur multipliée par sa probabilité : $E(X) = x_1\,p_1 + x_2\,p_2 + \dots + x_n\,p_n = \sum x_i\,p_i.$ C’est la valeur moyenne attendue de $X$ : la moyenne que l’on obtiendrait en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.

Nombre moyen de consultations attendu

Reprenons la loi précédente. L’espérance vaut : $E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}2 + 3 \times 0{,}1 = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1{,}2.$

En moyenne, un patient suivi a donc $1{,}2$ consultation par semaine. Cette valeur n’est pas forcément atteinte par un patient donné (on ne fait pas $1{,}2$ consultation) : c’est une moyenne attendue sur l’ensemble des patients, utile pour estimer la charge du cabinet.

La variance et l’écart-type

Variance et écart-type

La variance $V(X)$ mesure à quel point les valeurs de $X$ sont dispersées autour de l’espérance $E(X)$ . En notant $m = E(X)$ : $V(X) = \sum p_i\,(x_i - m)^2.$ L’écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$ Plus l’écart-type est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne.

L'écart-type, dans la bonne unité

La variance s’exprime dans l’unité de $X$ au carré, ce qui la rend peu parlante. L’écart-type $\sigma(X)$ , lui, revient dans la même unité que $X$ : c’est donc lui qu’on commente quand on parle de régularité ou de dispersion d’une situation.

Dispersion du nombre de consultations

Toujours avec $m = E(X) = 1{,}2$ , on calcule la variance : $V(X) = 0{,}2 \times (0 - 1{,}2)^2 + 0{,}5 \times (1 - 1{,}2)^2 + 0{,}2 \times (2 - 1{,}2)^2 + 0{,}1 \times (3 - 1{,}2)^2.$ Soit $V(X) = 0{,}2 \times 1{,}44 + 0{,}5 \times 0{,}04 + 0{,}2 \times 0{,}64 + 0{,}1 \times 3{,}24 = 0{,}288 + 0{,}02 + 0{,}128 + 0{,}324 = 0{,}76.$

L’écart-type vaut alors $\sigma(X) = \sqrt{0{,}76} \approx 0{,}87$ consultation : c’est l’ordre de grandeur de l’écart typique au nombre moyen de consultations.

L’épreuve et la loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui ne possède que deux issues :

le succès, de probabilité $p$ ;
l’échec, de probabilité $1 - p$ .

Le mot « succès » désigne simplement l’issue que l’on choisit d’étudier (par exemple « le test est positif »), sans jugement de valeur.

Loi de Bernoulli de paramètre p

Soit une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p$ . La variable aléatoire $X$ qui vaut :

$X = 1$ en cas de succès ;
$X = 0$ en cas d’échec ;

suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Sa loi de probabilité est :

$x_i$	$1$	$0$
$p_i$	$p$	$1 - p$

Espérance et variance d'une loi de Bernoulli

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors : $E(X) = p \qquad \text{et} \qquad V(X) = p\,(1 - p).$ L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{p\,(1 - p)}$ .

Démonstration de l’espérance : $E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$ . L’espérance d’une loi de Bernoulli est donc directement égale à la proportion de succès $p$ .

Efficacité d'un traitement comme épreuve de Bernoulli

Un traitement est efficace dans $80\,\%$ des cas. On l’administre à un patient et on appelle « succès » le fait que le traitement soit efficace. C’est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}8$ .

On pose $X = 1$ si le traitement est efficace, $X = 0$ sinon. Alors : $E(X) = p = 0{,}8 \qquad \text{et} \qquad V(X) = p\,(1 - p) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16.$ L’écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4$ . L’espérance $0{,}8$ s’interprète comme la proportion de patients pour lesquels le traitement est attendu efficace.

Calculer E(X), V(X) et l'écart-type à partir d'un tableau

Vérifier que la somme des probabilités $p_i$ vaut $1$ .
Calculer l’espérance $E(X) = \sum x_i\,p_i$ (chaque valeur fois sa probabilité, puis on additionne).
Noter $m = E(X)$ , puis calculer la variance $V(X) = \sum p_i\,(x_i - m)^2$ .
En déduire l’écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (même unité que $X$ ).
Interpréter dans le contexte (valeur moyenne attendue, dispersion autour de cette moyenne).

L'espérance n'est pas une probabilité

FAUX : « comme $E(X) = 1{,}2$ , ce résultat est impossible car une probabilité ne dépasse pas $1$ ».

VRAI : l’espérance est une valeur moyenne de $X$ , pas une probabilité. Elle s’exprime dans l’unité de $X$ (ici un nombre de consultations) et peut très bien valoir $1{,}2$ , $5$ ou $100$ . Seules les probabilités $p_i$ sont comprises entre $0$ et $1$ et ont une somme égale à $1$ .

Ne pas oublier de prendre la racine carrée

FAUX : « la variance vaut $0{,}16$ , donc l’écart-type vaut aussi $0{,}16$ ».

VRAI : l’écart-type est la racine carrée de la variance. Ici $\sigma(X) = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4$ , et non $0{,}16$ . C’est l’écart-type, dans la même unité que $X$ , que l’on commente pour parler de dispersion.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Compléter une loi de probabilité

On choisit au hasard un dossier patient dans un cabinet et on note $X$ le nombre de rendez-vous manqués par ce patient sur l'année. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant, où une valeur a été effacée : $P(X = 0) = 0{,}3$ , $P(X = 1) = 0{,}4$ , $P(X = 2)$ est inconnue et $P(X = 3) = 0{,}1.$ Déterminer la probabilité manquante $P(X = 2).$

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Un dépistage modélisé par une loi de Bernoulli

Dans une population, $15\,\%$ des personnes testées lors d'un dépistage obtiennent un résultat positif. On choisit une personne au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si son test est positif (le « succès » étudié) et $0$ sinon. 1) Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Donner la loi de probabilité de $X$ dans un tableau. 3) Calculer l'espérance $E(X).$

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Calculer une espérance à partir d'un tableau

Dans un centre de vaccination, on note $X$ le nombre de vaccins reçus dans l'année par une personne choisie au hasard parmi les personnes suivies. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau : $P(X = 0) = 0{,}1$ , $P(X = 1) = 0{,}3$ , $P(X = 2) = 0{,}3$ , $P(X = 3) = 0{,}2$ et $P(X = 4) = 0{,}1.$ Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

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Efficacité d'un traitement : espérance et variance

Un traitement est efficace dans $70\,\%$ des cas. On l'administre à un patient pris au hasard et on appelle « succès » le fait que le traitement soit efficace. On note $X = 1$ si le traitement est efficace et $X = 0$ sinon. 1) Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Calculer l'espérance $E(X)$ , la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ (arrondir l'écart-type au centième).

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Présence d'un caractère dans une population

Dans une population, $25\,\%$ des personnes présentent un certain facteur de risque. On choisit une personne au hasard et on note $X = 1$ si elle présente ce facteur (le « succès ») et $X = 0$ sinon. 1) Donner la loi suivie par $X$ et son paramètre. 2) Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondir l'écart-type au centième). 3) Dans un groupe de $200$ personnes de cette population, estimer le nombre de personnes présentant ce facteur de risque.

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Bonus

Comparer deux traitements avec l'espérance et l'écart-type (problème)

Pour évaluer deux traitements, on mesure chez chaque patient un score d'amélioration entier de $0$ (aucune amélioration) à $3$ (amélioration maximale). On note $X$ le score pour le traitement A et $Y$ le score pour le traitement B, pour un patient pris au hasard. Traitement A : $P(X = 0) = 0{,}1$ , $P(X = 1) = 0{,}2$ , $P(X = 2) = 0{,}4$ , $P(X = 3) = 0{,}3.$ Traitement B : $P(Y = 0) = 0{,}05$ , $P(Y = 1) = 0{,}15$ , $P(Y = 2) = 0{,}55$ , $P(Y = 3) = 0{,}25.$ 1) Vérifier que chaque tableau est une loi de probabilité. 2) Calculer l'espérance et l'écart-type de chaque score (arrondir les écarts-types au centième). 3) Indiquer, en justifiant par la position et la dispersion, quel traitement semble préférable.

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Loi, espérance, variance et écart-type (étude complète)

Un infirmier libéral note $X$ le nombre d'actes réalisés lors d'une visite à domicile, pour une visite prise au hasard. La loi de probabilité de $X$ est : $P(X = 0) = 0{,}15$ , $P(X = 1) = 0{,}35$ , $P(X = 2) = 0{,}35$ et $P(X = 3) = 0{,}15.$ 1) Vérifier qu'il s'agit d'une loi de probabilité. 2) Calculer l'espérance $E(X)$ et l'interpréter. 3) Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$ (arrondir au centième).

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Test de dépistage : effectif attendu de cas positifs

Un test de dépistage est proposé dans une région où $6\,\%$ des personnes testées sont déclarées positives. On choisit une personne au hasard et on note $X = 1$ si son test est positif (le « succès » étudié) et $X = 0$ sinon. 1) Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ (arrondir au millième). 3) Un centre dépiste $500$ personnes de cette région. Estimer le nombre de tests positifs attendus.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire en Première ST2S ?

Une variable aléatoire est un nombre qui dépend du résultat d'une expérience due au hasard. Par exemple, lors d'un dépistage on peut noter 1 si le test est positif et 0 s'il est négatif : le résultat n'est pas connu d'avance, c'est une variable aléatoire. On la note en général avec une lettre majuscule comme X. À chaque valeur possible on associe sa probabilité : l'ensemble de ces probabilités forme la loi de probabilité de la variable aléatoire.

Que représente l'espérance d'une variable aléatoire ?

L'espérance, notée espérance de X, est la valeur moyenne que l'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois. On la calcule en multipliant chaque valeur par sa probabilité, puis en additionnant tous ces produits. En santé-social, elle sert par exemple à estimer le nombre moyen de personnes atteintes d'un caractère ou le résultat moyen attendu d'un traitement sur le long terme.

Qu'est-ce qu'une loi de Bernoulli ?

Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 moins p. La variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Son espérance est égale à p et sa variance est égale à p multiplié par 1 moins p. C'est le modèle de base dès qu'on observe la présence ou l'absence d'un caractère, par exemple l'efficacité ou non d'un traitement.