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Rêves Vision
Première ST2S

Présence d'un caractère dans une population

Énoncé

Dans une population, 25 %25\,\% des personnes présentent un certain facteur de risque. On choisit une personne au hasard et on note X=1X = 1 si elle présente ce facteur (le « succès ») et X=0X = 0 sinon. 1) Donner la loi suivie par XX et son paramètre. 2) Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X) (arrondir l'écart-type au centième). 3) Dans un groupe de 200200 personnes de cette population, estimer le nombre de personnes présentant ce facteur de risque.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'observation n'a que deux issues : la personne présente le facteur (succès) ou non (échec). Le paramètre pp est la probabilité du succès.
  2. Rappels pour une loi de Bernoulli de paramètre pp : E(X)=pE(X) = p et V(X)=p (1−p)V(X) = p\,(1 - p), puis σ(X)=V(X).\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
  3. Pour estimer un effectif, multiplie la proportion attendue E(X)E(X) par le nombre total de personnes.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Reconnaître la loi de Bernoulli

    L'observation n'a que deux issues : la personne présente le facteur de risque (succès) ou non (échec). La probabilité du succès est p=0,25.p = 0{,}25. Comme XX vaut 11 en cas de succès et 00 sinon, XX suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0,25.p = 0{,}25.

  2. 2. Calculer l'espérance et la variance

    Pour une loi de Bernoulli de paramètre pp : E(X)=p=0,25E(X) = p = 0{,}25 et V(X)=p (1−p)=0,25×0,75=0,1875.V(X) = p\,(1 - p) = 0{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}1875.

  3. 3. Calculer l'écart-type

    L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)=0,1875≈0,43.\sigma(X) = \sqrt{0{,}1875} \approx 0{,}43.

  4. 4. Estimer un effectif sur 200 personnes

    L'espérance E(X)=0,25E(X) = 0{,}25 est la proportion attendue de personnes présentant le facteur. Sur 200200 personnes, on estime donc le nombre de personnes concernées par 200×0,25=50.200 \times 0{,}25 = 50.

  5. 5. Conclure

    XX suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,250{,}25, avec E(X)=0,25E(X) = 0{,}25, V(X)=0,1875V(X) = 0{,}1875 et σ(X)≈0,43.\sigma(X) \approx 0{,}43. Sur un groupe de 200200 personnes de cette population, on attend environ 5050 personnes présentant ce facteur de risque.
Réponse finale
X∼Bernoulli(0,25)  ;E(X)=0,25, V(X)=0,25×0,75=0,1875, σ(X)=0,1875≈0,43  ;200×0,25=50 personnesX \sim \text{Bernoulli}(0{,}25)\;;\quad E(X) = 0{,}25,\ V(X) = 0{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}1875,\ \sigma(X) = \sqrt{0{,}1875} \approx 0{,}43\;;\quad 200 \times 0{,}25 = 50 \text{ personnes}
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