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Rêves Vision
Première ST2S

Test de dépistage : effectif attendu de cas positifs

Énoncé

Un test de dépistage est proposé dans une région où 6 %6\,\% des personnes testées sont déclarées positives. On choisit une personne au hasard et on note X=1X = 1 si son test est positif (le « succès » étudié) et X=0X = 0 sinon. 1) Justifier que XX suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre. 2) Calculer E(X)E(X), V(X)V(X) et σ(X)\sigma(X) (arrondir au millième). 3) Un centre dépiste 500500 personnes de cette région. Estimer le nombre de tests positifs attendus.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le test n'a que deux issues : positif (succès) ou négatif (échec). Le paramètre pp est la probabilité d'un test positif.
  2. Pour une loi de Bernoulli de paramètre pp : E(X)=pE(X) = p, V(X)=p (1−p)V(X) = p\,(1 - p) et σ(X)=V(X).\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
  3. Le nombre attendu de tests positifs s'obtient en multipliant la proportion E(X)E(X) par le nombre de personnes dépistées.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaître la loi de Bernoulli

    Le test n'a que deux issues : positif (succès) ou négatif (échec). La probabilité du succès est p=0,06.p = 0{,}06. Comme XX vaut 11 en cas de succès et 00 sinon, XX suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0,06.p = 0{,}06.

  2. 2. Calculer l'espérance et la variance

    Pour une loi de Bernoulli de paramètre pp : E(X)=p=0,06E(X) = p = 0{,}06 et V(X)=p (1−p)=0,06×0,94=0,0564.V(X) = p\,(1 - p) = 0{,}06 \times 0{,}94 = 0{,}0564.

  3. 3. Calculer l'écart-type

    L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)=0,0564≈0,237.\sigma(X) = \sqrt{0{,}0564} \approx 0{,}237.

  4. 4. Estimer le nombre de tests positifs

    L'espérance E(X)=0,06E(X) = 0{,}06 représente la proportion attendue de tests positifs. Sur 500500 personnes dépistées, le nombre de tests positifs attendus est donc 500×0,06=30.500 \times 0{,}06 = 30.

  5. 5. Conclure

    XX suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,060{,}06, avec E(X)=0,06E(X) = 0{,}06, V(X)=0,0564V(X) = 0{,}0564 et σ(X)≈0,237.\sigma(X) \approx 0{,}237. En dépistant 500500 personnes de cette région, le centre peut s'attendre à environ 3030 tests positifs, ce qui aide à dimensionner le suivi médical à prévoir.
Réponse finale
X∼Bernoulli(0,06)  ;E(X)=0,06, V(X)=0,06×0,94=0,0564, σ(X)=0,0564≈0,237  ;500×0,06=30 tests positifsX \sim \text{Bernoulli}(0{,}06)\;;\quad E(X) = 0{,}06,\ V(X) = 0{,}06 \times 0{,}94 = 0{,}0564,\ \sigma(X) = \sqrt{0{,}0564} \approx 0{,}237\;;\quad 500 \times 0{,}06 = 30 \text{ tests positifs}
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