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Rêves Vision
Première ST2S

Probabilités totales : deux centres de préparation

Énoncé

Une pharmacie hospitalière prépare des poches de soin dans deux centres. Le centre AA prépare 70 %70\,\% des poches, le centre BB en prépare 30 %.30\,\%. Une poche peut présenter un défaut de conditionnement (D).(D). Au centre AA, 2 %2\,\% des poches ont un défaut : PA(D)=0,02.P_A(D) = 0{,}02. Au centre BB, 5 %5\,\% des poches ont un défaut : PB(D)=0,05.P_B(D) = 0{,}05. On choisit une poche au hasard. a) Calculer P(A∩D)P(A \cap D) et P(B∩D).P(B \cap D). b) En déduire P(D)P(D), la probabilité qu'une poche présente un défaut.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Les deux centres AA et BB forment les deux branches du premier niveau : P(A)=0,70P(A) = 0{,}70 et P(B)=0,30.P(B) = 0{,}30.
  2. Pour chaque chemin, multiplie la probabilité du centre par la probabilité conditionnelle du défaut : P(A∩D)=P(A)×PA(D).P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D).
  3. Une poche défectueuse vient soit de AA, soit de B.B. La formule des probabilités totales donne P(D)=P(A∩D)+P(B∩D).P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Probabilités des deux chemins menant à un défaut

    On multiplie le long de chaque chemin. Chemin par le centre AA : P(A∩D)=P(A)×PA(D)=0,70×0,02=0,014.P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0{,}70 \times 0{,}02 = 0{,}014. Chemin par le centre BB : P(B∩D)=P(B)×PB(D)=0,30×0,05=0,015.P(B \cap D) = P(B) \times P_B(D) = 0{,}30 \times 0{,}05 = 0{,}015.

  2. 2. b) Formule des probabilités totales

    Une poche défectueuse provient soit du centre AA, soit du centre B.B. On additionne donc les deux chemins qui mènent au défaut : P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)=0,014+0,015=0,029.P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029. La probabilité qu'une poche présente un défaut est 0,0290{,}029, soit 2,9 %.2{,}9\,\%.
Réponse finale
P(A∩D)=0,014;P(B∩D)=0,015;P(D)=0,029P(A \cap D) = 0{,}014 \quad ; \quad P(B \cap D) = 0{,}015 \quad ; \quad P(D) = 0{,}029
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