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Rêves Vision
Première ST2S

Test positif : est-on vraiment malade ?

Énoncé

Une maladie MM touche 4 %4\,\% d'une population : P(M)=0,04.P(M) = 0{,}04. Un test TT détecte la maladie chez 90 %90\,\% des malades : PM(T)=0,90.P_M(T) = 0{,}90. Chez les non-malades, il est négatif dans 95 %95\,\% des cas : PM‾(T‾)=0,95.P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}95. a) Construire l'arbre et calculer P(M∩T)P(M \cap T) et P(M‾∩T).P(\overline{M} \cap T). b) Calculer P(T)P(T), la probabilité d'avoir un test positif. c) Calculer PT(M)P_T(M), la probabilité d'être réellement malade sachant que le test est positif. Interpréter.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par les branches contraires : P(M‾)=1−0,04P(\overline{M}) = 1 - 0{,}04, et PM‾(T)=1−0,95P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}95 (le faux positif).
  2. Un test positif s'obtient de deux façons : chez un malade ou chez un non-malade. La formule des probabilités totales donne P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T).P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T).
  3. Pour renverser le conditionnement, applique la définition : PT(M)=P(M∩T)P(T).P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}. Compare le résultat à PM(T)=0,90P_M(T) = 0{,}90 pour bien voir la différence.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. a) Les chemins menant à un test positif

    On détermine d'abord les branches contraires : P(M‾)=1−0,04=0,96P(\overline{M}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96 et PM‾(T)=1−0,95=0,05.P_{\overline{M}}(T) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05. On multiplie ensuite le long de chaque chemin. Vrais positifs : P(M∩T)=P(M)×PM(T)=0,04×0,90=0,036.P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}04 \times 0{,}90 = 0{,}036. Faux positifs : P(M‾∩T)=P(M‾)×PM‾(T)=0,96×0,05=0,048.P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T) = 0{,}96 \times 0{,}05 = 0{,}048.

  2. 2. b) Probabilité totale d'un test positif

    Un test positif provient soit d'un malade, soit d'un non-malade. On additionne les deux chemins : P(T)=P(M∩T)+P(M‾∩T)=0,036+0,048=0,084.P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}036 + 0{,}048 = 0{,}084. Il y a donc 8,4 %8{,}4\,\% de tests positifs dans cette population.

  3. 3. c) Renverser le conditionnement

    On cherche la probabilité d'être malade parmi les tests positifs : PT(M)=P(M∩T)P(T)=0,0360,084=37≈0,43.P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}036}{0{,}084} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}43. Une personne au test positif n'a qu'environ 43 %43\,\% de risque d'être réellement malade, alors que le test détecte 90 %90\,\% des malades. La maladie étant rare, les faux positifs (0,0480{,}048) sont plus nombreux que les vrais positifs (0,0360{,}036) : un test positif doit donc être confirmé par un second examen.
Réponse finale
P(M∩T)=0,036 ; P(M‾∩T)=0,048;P(T)=0,084;PT(M)=37≈0,43P(M \cap T) = 0{,}036 \ ;\ P(\overline{M} \cap T) = 0{,}048 \quad ; \quad P(T) = 0{,}084 \quad ; \quad P_T(M) = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}43
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